[论文解读] A note on the adapted weak topology in discrete time

Gudmund Pammer|arXiv (Cornell University)|May 2, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 2

一句话总结

本文通过拓扑方法证明了在离散时间下，所有适应弱拓扑均一致，利用了可比较的紧致豪斯多夫拓扑必然一致的事实。该文通过拓扑论证重新获得了Backhoff等[5]的关键结果，刻画了马尔可夫过程与自然滤子过程上的适应弱拓扑，并基于最优传输理论引入了一种经典弱收敛在R^d上的弱Wasserstein度量。

ABSTRACT

The adapted weak topology is an extension of the weak topology for stochastic processes designed to adequately capture properties of underlying filtrations. With the recent work of Bart--Beiglböck-P. as starting point, the purpose of this note is to recover with topological arguments the intriguing result by Backhoff-Bartl-Beiglböck-Eder that all adapted topologies in discrete time coincide. We also derive new characterizations of this topology including descriptions of its trace on the sets of Markov processes and processes equipped with their natural filtration. To emphasize the generality of the argument, we also describe the classical weak topology for measures on $\mathbb R^d$ by a weak Wasserstein metric based on the theory of weak optimal transport initiated by Gozlan-Roberto-Samson-Tetali.

研究动机与目标

• 提供一个拓扑证明，表明所有离散时间随机过程上的适应弱拓扑是等价的。
• 通过拓扑论证重新获得并强化Backhoff等[5]的结果，即在离散时间下所有适应拓扑一致。
• 刻画马尔可夫过程子集以及配备其自然滤子的过程上的适应弱拓扑。
• 基于弱最优传输理论，建立经典R^d上弱收敛的弱Wasserstein度量表示。
• 证明适应弱拓扑是可度量化的，并通过一种新颖的度量刻画，表明其与其它适应拓扑等价。

提出的方法

• 利用可比较的紧致豪斯多夫拓扑必须一致的事实，将其应用于滤子过程空间上的适应弱拓扑与其他适应拓扑。
• 采用适应Wasserstein距离AWp作为度量，以诱导滤子过程空间FPp上的适应弱拓扑τAW。
• 应用[7]中的定理2，该定理指出：一个集合是AWp预紧的当且仅当它是Wp预紧的，从而将适应弱拓扑与经典的p-Wasserstein拓扑联系起来。
• 利用[7]中的适应块逼近方法，确保AWp在商空间FP上的定义良好且与代表元的选择无关。
• 通过凸序与耦合测度在Pp(R^d)上引入弱Wasserstein度量Vp，证明其诱导的拓扑τV弱于p-Wasserstein拓扑。
• 应用De la Vallée-Poussin定理及凸序下水平集的紧致性，证明在Vp下的相对紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有离散时间随机过程上的适应弱拓扑是否一致？
• RQ2 能否通过拓扑论证而非概率构造来证明适应拓扑的一致性？
• RQ3 适应弱拓扑在马尔可夫过程或具有自然滤子的过程类上如何受限？
• RQ4 能否基于最优传输理论，通过弱Wasserstein度量刻画R^d上的经典弱收敛？
• RQ5 使适应弱拓扑可度量化的充分必要条件是什么？

主要发现

• 所有离散时间随机过程空间上的适应弱拓扑一致，通过拓扑论证重新获得了Backhoff等[5]的结果。
• 适应弱拓扑τAW由适应Wasserstein距离AWp可度量化，且任意满足Wp ≤ d ≤ AWp的度量d也均可度量化τAW。
• 适应弱拓扑与由Snell上确界、Doob分解及其他依赖滤子的运算所诱导的拓扑一致。
• 在马尔可夫过程子集上，适应弱拓扑与由适应Wasserstein距离CWp诱导的拓扑一致。
• Pp(R^d)上的经典弱拓扑由基于凸序与鞅耦合定义的弱Wasserstein度量Vp可度量化。
• 在适应弱拓扑下的相对紧致性，等价于其概率律在p-Wasserstein拓扑下的相对紧致性，此结论由[7]中的定理2确立。