[论文解读] A note on the alternating sums of powers of consecutive q-integers

Kim, T.|ArXiv.org|Apr 10, 2006

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用 27

一句话总结

本文通过基于连续 q-整数幂的交错和的生成函数，引入了一类新的 q-Euler 数与多项式。利用 p-adic q-积分和生成函数，作者推导出形如 $\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l[l]_q^m$ 的交错和的显式公式，将经典 Euler 数恒等式推广至 q-模拟情形，并给出包含新 q-Euler 数的闭式表达。

ABSTRACT

In this paper we construct a new q-Euler numbers and polynomials. By using these numbers and polynomials, we give the interesting formulae related to alternating sums of powers of consecutive q-integers following an idea due to Euler.

研究动机与目标

• 开发一类新的 q-模拟 Euler 数与多项式，使其在 q-整数幂的交错和背景下推广经典 Euler 数。
• 通过生成函数与 p-adic q-积分，建立这些新 q-Euler 数与交错和 $\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l[l]_q^m$ 之间的联系。
• 将经典 Euler 数恒等式（如 $\frac{(-1)^{m+1}E_m(n) + E_m}{2} = \sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l l^m$）推广至 q-设定。
• 定义并研究 Euler q-zeta 函数，及其与新 q-Euler 数和 L-函数的关系。

提出的方法

• 通过生成函数 $2\sum_{l=0}^\infty (-1)^l e^{[l]_q t} = \sum_{n=0}^\infty E_{n,q} \frac{t^n}{n!}$ 构造新的 q-Euler 数 $E_{n,q}$。
• 利用 p-adic q-积分表示 $\sum_{n=0}^\infty E_{n,q} \frac{t^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \int_{\mathbb{Z}_p} [x]_q^n d\mu_{-q}(x) \frac{t^n}{n!}$，将 q-Euler 数与 Bernoulli 与 Euler 数的 q-模拟联系起来。
• 推导出 q-Euler 数的闭式表达：$E_{n,q} = 2\left(\frac{1}{1-q}\right)^n \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^j \frac{1}{1+q^j}$。
• 通过 $2\sum_{l=0}^\infty (-1)^l e^{[x+l]_q t} = \sum_{n=0}^\infty E_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!}$ 定义 q-Euler 多项式，推广经典 Euler 多项式。
• 建立恒等式 $\sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l [l]_q^m = \frac{(-1)^{m+1} E_{m,q}(n) + E_{m,q}}{2}$，该式推广了经典交错和公式。
• 引入 Euler q-zeta 函数 $\zeta_{E,q}(s,x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{[n+x]_q^s}$，并通过 $\zeta_{E,q}(-n,x) = \frac{1}{2} E_{n,q}(x)$ 建立其与 q-Euler 数的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用新的 q-Euler 数，将经典 Euler 数恒等式在 q-模拟设定下推广至幂的交错和？
• RQ2 新 q-Euler 数的 p-adic q-积分表示是什么？它如何与生成函数关联？
• RQ3 能否用新的 q-Euler 数与多项式，以闭式表达交错和 $\sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l [l]_q^m$？
• RQ4 当 $q \to 1$ 时，新 q-Euler 数与经典 Euler 数及多项式之间有何关系？
• RQ5 Euler q-zeta 函数与新 q-Euler 数及多项式之间存在何种函数关系？

主要发现

• 新 q-Euler 数由显式公式 $E_{n,q} = 2\left(\frac{1}{1-q}\right)^n \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (-1)^j \frac{1}{1+q^j}$ 给出，当 $q \to 1$ 时退化为经典 Euler 数。
• 交错和 $\sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l [l]_q^m$ 恰好等于 $\frac{(-1)^{m+1} E_{m,q}(n) + E_{m,q}}{2}$，推广了经典 Euler 数的恒等式。
• q-Euler 多项式 $E_{n,q}(x)$ 通过生成函数 $2\sum_{l=0}^\infty (-1)^l e^{[x+l]_q t}$ 定义，且满足 $\lim_{q \to 1} E_{n,q}(x) = E_n(x)$，即经典 Euler 多项式。
• Euler q-zeta 函数 $\zeta_{E,q}(s,x)$ 定义为 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{[n+x]_q^s}$，且对非负整数 $n$ 满足 $\zeta_{E,q}(-n,x) = \frac{1}{2} E_{n,q}(x)$。
• 广义 q-Euler L-函数 $l_{E,q}(s,\chi)$ 定义为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \chi(n)}{[n]_q^s}$，且满足 $l_{E,q}(-n,\chi) = \frac{1}{2} E_{n,\chi,q}$（$n \in \mathbb{N}$）。
• 本文提出一个开放问题：寻找新 q-Euler 数 $E_{n,q}$ 的 Witt 型公式，类似于已知的 $E_{n,q}^*$ 的公式。