[论文解读] A note on the automorphism groups of Johnson graphs

S. Morteza Mirafzal|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提供了关于约翰逊图 $J(n,i)$ 的自同构群的初等证明：当 $n \neq 2i$ 时，其自同构群同构于 $\mathrm{Sym}(n)$；当 $n = 2i$ 时，同构于 $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$，从而证实了先前研究中的一个猜想。证明基于距离相关的顶点结构分析与群作用论证，未使用复杂的群论工具。

ABSTRACT

The Johnson graph $J(n, i)$ is defined as the graph whose vertex set is the set of all $i$-element subsets of $\{1, . . ., n \}$, and two vertices are adjacent whenever the cardinality of their intersection is equal to $i$-1. In Ramras and Donovan [SIAM J. Discrete Math, 25(1): 267-270, 2011], it is proved that if $ n eq 2i$, then the automorphism group of $J(n, i)$ is isomorphic with the group $Sym(n)$ and it is conjectured that if $n = 2i$, then the automorphism group of $J(n, i)$ is isomorphic with the group $ Sym(n) imes \mathbb{Z}_2$. In this paper, we will find these results by different methods. We will prove the conjecture in the affirmative.

研究动机与目标

• 解决关于约翰逊图 $J(n,i)$ 在 $n = 2i$ 时自同构群的猜想。
• 通过仅使用基础群论与图结构的方法，提供约翰逊图自同构群的初等证明。
• 通过距离传递性质与稳定子分析，建立当 $n \neq 2i$ 时自同构群为 $\mathrm{Sym}(n)$，当 $n = 2i$ 时为 $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$ 的结论。
• 证明补集映射 $v \mapsto v^c$ 是一个不属于对称群作用的自同构，并且与所有对称群自同构可交换。

提出的方法

• 通过固定顶点 $x$ 的距离分划 $\Gamma_i(x)$ 分析顶点，利用邻域交集刻画顶点结构。
• 利用 $\Gamma_1(x)$（即 $x$ 的邻域）同构于线图 $L(K_{m,n-m})$ 的事实，分析局部自同构结构。
• 应用同构关系 $\mathrm{Aut}(L(K_{m,n-m})) \cong \mathrm{Aut}(K_{m,n-m})$，以限制稳定子子群 $G_v$ 的大小。
• 证明补集映射 $\alpha(v) = v^c$ 是一个阶为 2 的自同构，且不属于 $\mathrm{Sym}(n)$ 的像，同时与所有 $f_\theta$ 可交换。
• 证明由 $\mathrm{Sym}(n)$ 和 $\alpha$ 生成的群在 $n = 2m$ 时构成直积 $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$，且该群达到 $|\mathrm{Aut}(J(n,m))|$ 的上界。
• 利用轨道-稳定子定理与顶点传递性，将 $|\mathrm{Aut}(J(n,m))|$ 与 $|G_v| \cdot \binom{n}{m}$ 关联，最终得出群同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n = 2i$ 时，约翰逊图 $J(n,i)$ 的自同构群是什么？
• RQ2 当 $n = 2i$ 时，$J(n,i)$ 的自同构群是否同构于 $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$，如先前猜想所示？
• RQ3 能否仅通过初等群论与图论方法确定 $J(n,i)$ 的自同构群？
• RQ4 为何补集映射 $v \mapsto v^c$ 是一个不属于 $\mathrm{Sym}(n)$ 的像的自同构？它与对称群作用如何相互作用？

主要发现

• 当 $n \neq 2m$ 时，$J(n,m)$ 的自同构群同构于 $\mathrm{Sym}(n)$，因为群阶被限制在 $n!$，而对称群作用恰好达到该上界。
• 当 $n = 2m$ 时，$J(n,m)$ 的自同构群同构于 $\mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$，其中 $\mathbb{Z}_2$ 因子由补集映射 $\alpha(v) = v^c$ 生成。
• 补集映射 $\alpha$ 是一个阶为 2 的自同构，且不属于对称群作用的像，通过反证法（利用不动点与对换）证明。
• 自同构群 $\mathrm{Aut}(J(n,m))$ 是直积 $H \times \langle \alpha \rangle$，其中 $H \cong \mathrm{Sym}(n)$ 是对称群作用的像，且 $\alpha$ 与所有 $f_\theta$ 可交换，因此 $H \triangleleft G$ 且 $\langle \alpha \rangle \triangleleft G$。
• 稳定子子群 $G_v$ 的大小至多为 $|\mathrm{Aut}(K_{m,n-m})|$，且该上界是紧的，因此当 $n = 2m$ 时，有 $|\mathrm{Aut}(J(n,m))| \leq 2(2m)!$，与 $\mathrm{Sym}(2m) \times \mathbb{Z}_2$ 的阶一致。
• 群 $G = \mathrm{Aut}(J(n,m))$ 等于 $H \langle \alpha \rangle$，且由于对所有 $\theta$ 有 $f_\theta \alpha = \alpha f_\theta$，该乘积为直积，从而在 $n = 2m$ 时确认 $G \cong \mathrm{Sym}(n) \times \mathbb{Z}_2$。