[论文解读] A note on the complexity of Feedback Vertex Set parameterized by mim-width

Lars Jaffke, O‐joung Kwon+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本论文通过将来自多色团问题的约化方法进行改编，证明了当以最小最大匹配宽（mim-width）为参数时，反馈点集问题（Feedback Vertex Set）是 W[1]-难的，即使在线性 mim-width 和 H-图的情况下也是如此。该结果补充了近期针对该问题提出的 XP 算法，表明以 mim-width 为参数无法获得固定参数可满足性（fixed-parameter tractability），从而确定了该参数化下的问题复杂性状态。

ABSTRACT

We complement the recent algorithmic result that Feedback Vertex Set is XP-time solvable parameterized by the mim-width of a given branch decomposition of the input graph [3] by showing that the problem is W[1]-hard in this parameterization. The hardness holds even for linear mim-width, as well as for H-graphs, where the parameter is the number of edges in H. To obtain this result, we adapt a reduction due to Fomin, Golovach and Raymond [2], following the same line of reasoning but adding a new gadget.

研究动机与目标

• 确定反馈点集问题在以 mim-width 为参数时的参数化复杂性。
• 填补现有 XP 算法与该参数化下固定参数可满足性可能性之间的差距。
• 证明即使在受限设置（如线性 mim-width 和 H-图）下，该问题仍保持 W[1]-难。
• 通过改编已知的来自多色团问题的约化方法，建立最大诱导森林问题的难解性，再利用对偶性将结果转移至反馈点集问题。

提出的方法

• 将 Fomin 等人 [2] 针对 H-图上独立集问题的约化方法，改编为适用于最大诱导森林问题，使用改进的构件构造方法。
• 构造一个图 $ G' $，使其为具有特定 $ H $-表示的 $ H $-图，以编码一个多色团实例。
• 在 $ H $-表示中定义一组模型，使得诱导森林与原图中的团一一对应。
• 利用一个关键命题，确保构造中不同部分之间顶点选择的一致性，从而保证仅当选择的是合法团时才能获得较大的诱导森林。
• 利用诱导森林与反馈点集之间的对偶性：图存在大小为 $ k $ 的诱导森林当且仅当存在大小为 $ n-k $ 的反馈点集。
• 证明所构造的 $ H $-图的 mim-width 有界于 $ |H| $ 的函数，且该约化保持了参数化复杂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以 mim-width 为参数时，反馈点集问题是否具有固定参数可满足性？
• RQ2 反馈点集问题在限制为线性 mim-width 时，其 W[1]-难性是否仍然成立？
• RQ3 该难解性是否可扩展至 H-图类，其中参数为 $ |H| $（即 $ H $ 的边数）？
• RQ4 当以 mim-width 为参数时，反馈点集问题的参数化复杂性是否已完全确定？

主要发现

• 当以 mim-width 为参数时，反馈点集问题是 W[1]-难的，即使在给定有界 mim-width 的线性分支分解的情况下也是如此。
• 当参数为 $ |H| $（即 $ H $ 的边数）时，该 W[1]-难性在 H-图类中依然成立。
• 该约化表明，当参数为 $ w + k $（其中 $ w $ 为 mim-width，$ k $ 为解的大小）时，最大诱导森林问题也是 W[1]-难的。
• 该构造确保，任何最大大小的诱导森林均通过一个由关键命题强制的一致性条件，对应于原图中的一个合法多色团。
• 该结果意味着，除非 FPT = W[1]，否则该参数化下反馈点集问题不具有 FPT 算法，从而填补了近期 XP 算法留下的复杂性空白。