[论文解读] A Note on the Computational Complexity of Unsmoothened Vertex Attack Tolerance

Gunes Ercal|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文建立了在任意图中近似未平滑顶点攻击容错性（UVAT）的计算不可约性，证明在标准复杂性假设下，UVAT近似至常数因子是NP难的。该工作将MAX-BCBS问题归约至UVAT，表明任何UVAT的多项式时间近似算法都将意味着对MAX-BCBS的类似近似，从而确立UVAT为R4SAT难问题，并且难以在 $ n^\delta $ 因子内近似，其中 $ 0 < \delta < 1 $。

ABSTRACT

We have previously introduced vertex attack tolerance (VAT) and unsmoothened VAT (UVAT), denoted respectively as $τ(G) = \min_{S \subset V} \frac{|S|}{|V-S-C_{max}(V-S)|+1}$ and $\hatτ(G) = \min_{S \subset V} \frac{|S|}{|V-S-C_{max}(V-S)|}$, where $C_{max}(V-S)$ is the largest connected component in $V-S$, as appropriate mathematical measures of resilience in the face of targeted node attacks for arbitrary degree networks. Here we prove the hardness of approximating $\hatτ$ under various plausible computational complexity hypotheses.

研究动机与目标

• 建立在一般图中近似未平滑顶点攻击容错性（UVAT）的计算复杂性。
• 证明近似UVAT的难度等同于近似最大平衡二分图团（MAX-BCBS）问题。
• 表明UVAT在合理复杂性假设下继承了来自MAX-BCBS的不可近似性结果。
• 证明在多项式因子 $ n^\delta $ 范围内，UVAT是R4SAT难的，其中 $ 0 < \delta < 1 $。
• 通过从共二分图上的MAX-BCBS问题进行归约，将先前关于顶点完整性NP难性的结果推广至UVAT。

提出的方法

• 使用平衡二分图 $ G $ 的共二分图补图 $ \overline{G} $，将MAX-BCBS问题归约至UVAT。
• 将 $ \hat{\tau}(\overline{G}) $ 定义为最小比值 $ \frac{|S|}{|V-S-C_{\text{max}}(V-S)|} $，其中 $ S $ 是 $ \overline{G} $ 中的顶点分离集。
• 表明对于任意 $ (A,B) \in BK(G) $，在 $ \overline{G} $ 中的临界攻击集 $ U $ 对应于 $ G $ 中的一个二分团，且满足 $ \hat{\tau}(\overline{G}) = \min_{(A,B) \in BK(G)} \frac{2n - |A| - |B|}{|A|} $。
• 建立不等式 $ \frac{n}{k} - 1 \leq \hat{\tau}(\overline{G}) \leq 2\left(\frac{n}{k} - 1\right) $，其中 $ k $ 是图 $ G $ 中最大平衡二分团的大小。
• 利用该不等式表明，UVAT的 $ \alpha $-近似算法可导出MAX-BCBS的 $ 2\alpha $-近似算法。
• 应用MAX-BCBS已知的不可近似性结果（来自定理1.4–1.6），将困难性传递至UVAT，从而证明其NP难性和R4SAT难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在常数因子内近似未平滑顶点攻击容错性（UVAT）是否在计算上是困难的？
• RQ2 能否将近似UVAT的困难性归约为近似最大平衡二分图团（MAX-BCBS）的困难性？
• RQ3 在合理的复杂性假设（如随机4-SAT假设）下，UVAT的最佳可能近似比是多少？
• RQ4 当限制在共二分图上时，UVAT是否仍然难以近似？
• RQ5 在不可近似性方面，UVAT与最大团问题有何关联？

主要发现

• 若最大团问题在因子 $ n / 2^{c\sqrt{\log n}} $ 内难以近似（其中小的 $ c > 0 $），则UVAT在常数因子内近似是NP难的。
• 在假设SAT不存在运行时间 $ 2^{n^\epsilon} $ 的概率算法的前提下，对于大小为 $ N $ 的图，UVAT无法在因子 $ N^{\epsilon'} $ 内近似，其中 $ \epsilon' = \frac{1}{2^{O(1/\epsilon \log(1/\epsilon))}} $。
• 在随机4-SAT困难性假设下，UVAT在因子 $ n^\delta $ 内近似是R4SAT难的，其中任意 $ 0 < \delta < 1 $。
• 若存在UVAT的多项式时间 $ \alpha $-近似算法，则也存在MAX-BCBS的多项式时间 $ 2\alpha $-近似算法，即使在共二分图上亦成立。
• 不等式 $ \frac{n}{k} - 1 \leq \hat{\tau}(\overline{G}) \leq 2\left(\frac{n}{k} - 1\right) $ 成立，其中 $ k $ 是原图 $ G $ 中最大平衡二分团的大小。
• UVAT对所有非团图均有定义且非平凡，其临界攻击集对应于共二分图补图中的顶点分离集。