[论文解读] A note on the consistency of the Narain-Horvitz-Thompson estimator

Guillaume Chauvet|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了在不等概率抽样设计下，Narain-Horvitz-Thompson估计量均方一致性的替代充分条件，为Cardot等人（2010）提出的条件提供了一个更易处理的替代方案。通过利用约束集大小和期望算法步数的有界性，该文在马氏抽样算法框架下建立了估计量的一致性，特别适用于快速立方法，确保估计量达到$O(n^{-1})$阶的均方误差。该结果在具有辅助变量的平衡抽样中尤为相关。

ABSTRACT

For the Narain-Horvitz-Thompson estimator to have usual asymptotic properties such as consistency, some conditions on the sampling design and on the variable of interest are needed. Cardot et al. (2010) give some sufficient conditions for the mean square consistency, but one of them is usually difficult to prove or does not hold for some unequal probability sampling designs. We propose alternative conditions for the mean square consistency of the Narain-Horvitz-Thompson estimator. A specific result is also proved in case when a martingale sampling algorithm is used, which implies consistency under a fast algorithm for the cube method.

研究动机与目标

• 解决在不等概率抽样设计中验证二阶包含概率条件以实现均方一致性的困难。
• 为Narain-Horvitz-Thompson估计量的均方一致性提供替代、更易验证的条件。
• 在马氏抽样算法框架下建立一致性，尤其针对快速立方法的实现。
• 确保在现实抽样框架下，估计量达到$O(n^{-1})$阶的均方误差。

提出的方法

• 提出一组新的均方一致性充分条件，避免依赖于难以验证的二阶包含概率边界。
• 采用马氏抽样算法框架，其中抽样过程逐步演化，通过随机扰动更新包含概率。
• 将集合$U_i$定义为第$i$步受影响的单位，其中$\mathcal{C} = \max_i \textrm{Card}(U_i)$为每步最多受影响的单位数。
• 将估计误差的方差绑定至$\left(\frac{\max |y_k|}{\min \pi_k}\right)^2 \times \mathcal{C}^2 \times E[T]$，将误差与算法复杂度关联。
• 将该界应用于快速立方法（算法1），其中$\mathcal{C} \leq q+1$且$E[T] = O(N)$，当$q = O(1)$时确保一致性。
• 证明在这些条件下，估计量满足$V\{N^{-1}(\hat{t}_y - t_y)\} = O(n^{-1})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Narain-Horvitz-Thompson估计量的均方一致性是否可以在弱于Cardot等人（2010）所提条件的假设下建立？
• RQ2 马氏抽样算法框架是否能实现快速立方法的计算加速并保持一致性？
• RQ3 受影响单位集合$U_i$的大小在控制估计量均方误差方面起什么作用？
• RQ4 当$q = O(1)$时，该一致性结果能否推广至快速立方法？
• RQ5 在何种条件下，估计量能达到$O(n^{-1})$阶的均方误差？

主要发现

• 所提出的均方一致性条件比Cardot等人（2010）中基于Sen-Yates-Grundy的条件更易验证，尤其适用于不等概率设计。
• 在马氏抽样算法下，若满足$\min \pi_k \geq \lambda_1 > 0$，$\max |y_k| < \infty$，$\mathcal{C} = O(1)$，且$E[T] = O(N)$，则一致性成立，且$V\{N^{-1}(\hat{t}_y - t_y)\} = O(n^{-1})$。
• 对于快速立方法（算法1），有$\mathcal{C} \leq q+1$且$E[T] = O(N)$，因此当$q = O(1)$时一致性成立，使其适用于实际调查设计。
• 即使标准的二阶包含概率条件不成立，只要满足新条件，估计量在均方意义下仍保持一致。
• 方差界$V(\hat{t}_y - t_y) \leq \left(\frac{\max |y_k|}{\min \pi_k}\right)^2 \mathcal{C}^2 E[T]$为序列抽样下的误差分析提供了通用框架。
• 结果验证了快速立方法在具有辅助变量的平衡抽样中的适用性，因其在计算开销最小的前提下满足了新的一致性条件。