[论文解读] A Note on the Convex Hull of Finitely Many Projections of Spectrahedra

Tim Netzer, Rainer Sinn|ArXiv.org|Aug 24, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 3被引用 15

一句话总结

本文证明了任意有限个谱多面体投影的凸包本身也是某个谱多面体的投影。通过在扩展空间中利用锥包和闵可夫斯基和，作者将Helton与Nie的有界情形结果推广至无界情形，确立了半定表示集的一个基本闭包性质。

ABSTRACT

A spectrahedron is a set defined by a linear matrix inequality. A projection of a spectrahedron is often called a semidefinitely representable set. We show that the convex hull of a finite union of such projections is again a projection of a spectrahedron. This improves upon the result of Helton and Nie, who prove the same result in the case of bounded sets.

研究动机与目标

• 建立半定可表示集在有限并的凸包下的闭包性质。
• 将Helton与Nie的结果——该结果要求有界性或凸包闭合——推广至任意有限个谱多面体投影的并。
• 提供一种通过谱多面体投影构造性表示此类集合凸包的方法。
• 解决无界情形下出现的技术难题，特别是当凸包不闭合时。

提出的方法

• 在高维空间中，将每个谱多面体的投影表示为线性矩阵不等式定义的集合。
• 通过引入辅助变量和分块矩阵约束，在扩展空间中构造每个集合的锥包。
• 利用多个锥包的闵可夫斯基和，通过高维空间中的新谱多面体表示原始集合的凸包。
• 应用一种提升技术，通过缩放和锥约束编码凸组合，确保投影下的像能恢复原始凸包。
• 使用分块矩阵公式消除定义不等式中的存在量词，以保持半定可表示性。
• 验证在原空间中得到的集合恰好对应于输入集合的凸包。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限个谱多面体投影的凸包是否总是半定可表示的？
• RQ2 凸包下的闭包性质能否超越有界集或闭凸包的情形？
• RQ3 为确保此类集合的凸包保持为谱多面体，需要哪些结构约束？
• RQ4 如何利用锥包和闵可夫斯基和在高维谱多面体中构造性地表示凸包？
• RQ5 辅助变量和分块矩阵不等式在凸化过程中保持半定可表示性的角色是什么？

主要发现

• 任意有限个谱多面体投影的凸包本身也是某个谱多面体的投影，即使这些集合是无界的，或其凸包不闭合。
• 谱多面体投影的锥包也是某个谱多面体的投影，通过引入分块矩阵约束的提升构造得以确立。
• 多个投影锥包的闵可夫斯基和在扩展空间中形成一个谱多面体，其投影可恢复原始集合的凸包。
• 该方法通过引入辅助变量和缩放参数λ，避免对有界性或闭包性的依赖，统一处理所有情形。
• 该构造是有效且构造性的，通过分块矩阵不等式显式提供了凸包的半定表示。
• 该结果通过去除有界性假设，推广了Helton与Nie定理2.2，显著扩展了半定可表示性的适用范围。