[论文解读] A note on the cotangent complex in derived algebraic geometry

Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文表明，当通过导出代数几何的视角审视时，经典代数几何中的余切复形自然编码了概形的所有形变理论。通过引入导出的无穷小圆盘 $\mathbf{D}_i = \mathbb{R}\mathrm{Spec}\,k[\varepsilon_i]$，本文证明 $\mathrm{Ext}^i(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ 在几何上由 $\mathbb{R}\mathrm{Hom}_*(\mathbf{D}_i, (X,x))$ 共表示，从而通过导出概形统一并推广了所有次数上的形变理论。

ABSTRACT

This note is supposed to answer some questions on deformation theory in derived algebraic geometry. We show that derived algebraic geometry allows for a geometrical interpretation of the full cotangent complex and gives a natural setting for deformation and obstruction theories.

研究动机与目标

• 通过在导出代数几何中重新解释余切复形，阐明其在形变理论中的几何作用。
• 解决经典代数几何时 $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ 缺乏几何共表示对象的问题。
• 表明余切复形本身已包含导出形变的数据，即使在导出代数几何正式发展之前亦然。
• 通过导出概形 $\mathbf{D}_i$ 为所有 $\mathrm{Ext}^i(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ 群提供几何解释。
• 确立导出余切复形 $\mathbb{L}_{\mathcal{X}^{\mathrm{der}}}$ 是完整形变理论的正确对象，即使经典堆式余切复形失效时亦然。

提出的方法

• 引入第 $i$ 阶导出无穷小圆盘 $\mathbf{D}_i = \mathbb{R}\mathrm{Spec}\,k[\varepsilon_i]$，其中 $k[\varepsilon_i] = k \oplus k[i]$ 是一个在度数 $-i$ 处有生成元的 cdga。
• 利用带基点的导出概形范畴 $\mathbf{dSch}_{*,k}$，将 $\mathbb{R}\mathrm{Hom}_*(\mathbf{D}_i, (X,x))$ 定义为导出形变的空间。
• 通过导出 Ext 和导出范畴中的导出 Hom，建立自然同构 $\mathrm{Ext}^i_k(\mathbb{L}_{X,x}, k) \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}_*(\mathbf{D}_i, (X,x))$。
• 借助 [HAG-II] 的结果，证明当 $X$ 被视为导出概形时，Illusie 的余切复形与导出版本一致。
• 将同一框架应用于高阶堆，表明导出余切复形 $\mathbb{L}_{\mathcal{X}^{\mathrm{der}}}$ 控制完整的形变理论。
• 以模堆 $\mathbf{Vect}_n(X)$ 为例，其中 $\mathbb{L}^{\mathrm{der}}_{\mathcal{X}} \simeq \mathrm{C}^*_{\mathrm{Zar}}(X, \mathrm{End}(E))^\vee[-1]$，与已知的形变复形一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能以统一方式几何共表示所有 $i \geq 0$ 的经典 Ext-群 $\mathrm{Ext}^i(\mathbb{L}_{X,x}, k)$？
• RQ2 $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ 在经典代数几何时为何缺乏几何共表示概形？如何解决此问题？
• RQ3 余切复形在导出代数几何中的作用是什么？它如何统一所有次数上的形变理论？
• RQ4 对于模堆 $\mathcal{X}$，导出余切复形 $\mathbb{L}_{\mathcal{X}^{\mathrm{der}}}$ 与经典堆式余切复形有何不同？
• RQ5 能否从 $\mathcal{X}$ 上给定的障碍理论重构出一个导出模堆扩展 $\mathcal{X}^{\mathrm{der}}$？

主要发现

• 导出第 $i$ 阶无穷小圆盘 $\mathbf{D}_i = \mathbb{R}\mathrm{Spec}\,k[\varepsilon_i]$ 通过同构 $\mathrm{Ext}^i_k(\mathbb{L}_{X,x}, k) \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}_*(\mathbf{D}_i, (X,x))$ 几何共表示 $\mathrm{Ext}^i_k(\mathbb{L}_{X,x}, k)$。
• 该同构对所有 $i \in \mathbb{N}$ 成立，表明余切复形在导出范畴中统一编码了所有导出形变。
• 经典余切复形 $\mathbb{L}_X$ 本身已包含导出形变的数据，意味着导出代数几何在余切复形中‘早已存在’。
• 对于模堆 $\mathbf{Vect}_n(X)$，导出余切复形为 $\mathbb{L}^{\mathrm{der}}_{\mathcal{X}} \simeq \mathrm{C}^*_{\mathrm{Zar}}(X, \mathrm{End}(E))^\vee[-1]$，与标准形变复形一致。
• 导出余切复形 $\mathbb{L}_{\mathcal{X}^{\mathrm{der}}}$ 通常在幅度 $[-1, \infty)$ 上无界，而经典堆式余切复形受 Avramov 定理约束，通常有界。
• 不同的导出扩展 $\mathcal{X}^{\mathrm{der}}$ 可导致不同的障碍理论，如在 $K3$-曲面到稳定映射的情形中，标准障碍理论与约化障碍理论的对比所示。