[论文解读] A note on the discrete-time evolutions of quantum walk on a graph

Yusuke Higuchi, Norio Konno+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文建立了一种广义的谱映射公式，将离散时间量子行走演化矩阵在边上的特征多项式与经典随机游走转移矩阵在顶点上的特征多项式联系起来，使用加权边和顶点算子。一个关键贡献是证明了在围长条件（>4）下，Grover演化矩阵的立方的正支撑等于其正支撑立方与其转置之和，从而实现了新的同谱图分析。

ABSTRACT

For a quantum walk on a graph, there exist many kinds of operators for the discrete-time evolution. We give a general relation between the characteristic polynomial of the evolution matrix of a quantum walk on edges and that of a kind of transition matrix of a classical random walk on vertices. Furthermore we determine the structure of the positive support of the cube of some evolution matrix, which is said to be useful for isospectral problem in graphs, under a certain condition.

研究动机与目标

• 将量子行走演化矩阵与经典随机行走转移矩阵之间的谱关系进行广义化。
• 研究量子行走中的同谱问题，特别是同谱图是否必须同构。
• 在特定图条件下表征Grover演化矩阵立方的正支撑。
• 将已知的正则图谱结果推广到具有任意边权和实参数的一般加权图。

提出的方法

• 为经典随机游走在顶点上引入加权转移矩阵 $\mathbf{S}^w$。
• 为量子行走的有向边定义加权度矩阵 $\mathbf{D}^w$ 和演化矩阵 $\mathbf{U}^{w,s}$。
• 推导出 $\det(\lambda\mathbf{I}_{2m} - \mathbf{U}^{w,s})$ 与 $\mathbf{S}^w$ 和 $\mathbf{D}^w$ 的多项式之间的一般行列式恒等式。
• 使用矩阵分解 $\mathbf{U}^{w,s} = \mathbf{Q} + \mathbf{P}$，其中 $\mathbf{Q}$ 捕获非回溯路径，$\mathbf{P}$ 处理回溯。
• 通过将 $({}^T\mathbf{U})^3$ 分解为具有 0 到 3 次回溯的路径类型，分析 $\mathbf{U}^3$ 的正支撑。
• 应用图的围长条件 $g(G) > 4$ 以排除 4-圈，确保 $\mathbf{Q}^3$ 和 $\mathbf{P}\mathbf{Q}\mathbf{P}$ 的非零条目不重叠且均等于 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将离散时间量子行走演化矩阵的谱与同一图上经典随机游走转移矩阵的谱联系起来？
• RQ2 在何种条件下，Grover演化矩阵立方的正支撑能有闭式表达？
• RQ3 能否在 $({\bf U}^3)^+$ 与 $({\bf U}^+)^3$ 和 $^T{\bf U}^+$ 之间完全表征其结构？
• RQ4 若图中不存在 4-圈，是否能保证 $\mathbf{U}^3$ 的正支撑等于 $({\bf U}^+)^3$ 与 $^T{\bf U}^+$ 之和？
• RQ5 定理 1.1 中的谱映射公式在多大程度上可推广先前关于正则图的结果？

主要发现

• 量子行走演化矩阵 $\mathbf{U}^{w,s}$ 的特征多项式为 $\det(\lambda\mathbf{I}_{2m} - \mathbf{U}^{w,s}) = (\lambda^2 - 1)^{m-n} \det\left((\lambda^2 - 1)\mathbf{I}_n - s\lambda\mathbf{S}^w + s\mathbf{D}^w\right)$，推广了已知结果。
• 在 $g(G) > 4$ 条件下，$\mathbf{U}^3$ 的正支撑满足 $({\bf U}^3)^+ = ({\bf U}^+)^3 + {}^T{\bf U}^+$，且所有非零条目均为 1。
• $({\bf U}^+)^3$ 和 ${\bf P}{\bf U}^+{\bf P}$ 的非零条目因无 4-圈而互不重叠，确保该和定义良好。
• 在围长条件下，$({\bf U}^3)^+$ 的结构完全由行走的正支撑及其转置决定。
• 该结果为量子行走中的同谱图问题提供了新工具，表明若 $g(G) > 4$ 且 $({\bf U}^3)^+$ 支撑匹配，则同谱图必同构。
• 推导证实，当 $g(G) > 4$ 时，由于排除了环路，$\mathbf{U}^3$ 的正支撑不受路径贡献重叠的影响。