[论文解读] A note on the equivalence of Lagrangian and Hamiltonian formulations at post-Newtonian approximations

Rongchao Chen, Xin Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 32被引用 11

一句话总结

本文通过分析具有1PN拉格朗日量的相对论性圆周受限三体问题，证明了后牛顿（PN）拉格朗日量与哈密顿量形式在理论和数值上的等价性。利用收敛的无穷阶泰勒展开，表明低阶拉格朗日量等价于高阶哈密顿量，支持了在足够高的PN阶数下，此类形式将完全一致的论断，从而解决了此前在混沌动力学预测中存在的一致性差异。

ABSTRACT

It was claimed recently that a low order post-Newtonian (PN) Lagrangian formulation, which corresponds to the Euler-Lagrange equations up to an infinite PN order, can be identical to a PN Hamiltonian formulation at the infinite order from a theoretical point of view. This result is difficult to check because in most cases one does not know what both the Euler-Lagrange equations and the equivalent Hamiltonian are at the infinite order. However, no difficulty exists for a special 1PN Lagrangian formulation of relativistic circular restricted three-body problem, where both the Euler-Lagrange equations and the equivalent Hamiltonian not only are expanded to all PN orders but also have converged functions. Consequently, the analytical evidence supports this claim. As far as numerical evidences are concerned, the Hamiltonian equivalent to the Euler-Lagrange equations for the lower order Lagrangian requires that they both be only at higher enough finite orders.

研究动机与目标

• 解决后牛顿（PN）力学中拉格朗日量与哈密顿量形式在有限PN阶数下是否等价的长期争议。
• 研究低阶PN拉格朗日量与哈密顿量形式在可积性与混沌性方面的动力学差异。
• 提供解析与数值证据，证明低阶拉格朗日量可等价于高阶哈密顿量形式。
• 验证理论主张：对于给定的拉格朗日量，存在一个在无穷阶或足够高PN阶数下等价的哈密顿量。
• 通过表明等价性仅在高PN阶数下出现，澄清关于旋转型致密双星中混沌行为的矛盾结果。

提出的方法

• 通过勒让德变换，从相对论性圆周受限三体问题的1PN拉格朗日量形式推导出哈密顿量。
• 将欧拉-拉格朗日方程与对应的哈密顿量均展开为收敛的无穷阶泰勒级数。
• 使用高精度辛积分器对运动方程进行数值积分，以比较不同PN阶数下的轨迹。
• 应用快速李雅普诺夫指标（FLI）来区分不同PN近似下的规则轨道与混沌轨道。
• 随时间比较不同近似（ELk, Hk）与完整无穷阶解（EL, H）之间的位置偏差 |Δr| = |rk − rH|。
• 通过分离距离 a 的参数扫描，评估动力学等价性对相对论效应的依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相对论性圆周受限三体问题中，1PN拉格朗日量形式是否等价于其对应的无穷阶哈密顿量形式？
• RQ2 与完整的无穷阶形式相比，欧拉-拉格朗日方程与哈密顿方程的低阶PN近似（如1PN）是否会产生显著不同的动力学行为？
• RQ3 在何种PN阶数下，近似形式ELk与Hk可动态等价于精确的无穷阶解EL与H？
• RQ4 不同PN近似下的混沌指标（如FLI）如何变化？它们是否在高阶时收敛至相同行为？
• RQ5 数值证据能否证实理论主张：低阶拉格朗日量等价于高阶哈密顿量形式？

主要发现

• 1PN拉格朗日量形式产生的欧拉-拉格朗日方程及其对应的哈密顿量均可展开为收敛的无穷阶泰勒级数，从而实现精确的解析比较。
• 数值结果表明，1PN拉格朗日量及其对应哈密顿量仅在足够高的PN阶数下才表现出动力学等价性，其中EL12与H12与完整无穷阶解高度一致。
• ELk与H（或Hk与EL）之间的位置偏差 |Δr| 随着k的增加而显著减小，在t = 10,000时，k = 12时达到约10⁻⁷，表明轨迹几乎完全相同。
• 在较大分离距离（a ≥ 140）下，所有PN近似（ELk, Hk）在动力学上与完整解不可区分，这是由于相对论效应减弱。
• 在小分离距离（a < 100）下，低阶近似与完整解之间仍存在动力学差异，EL1与H1表现出显著发散。
• 快速李雅普诺夫指标（FLI）证实，仅在高PN阶数下，混沌与规则区域才对齐，支持了在无穷阶极限下两种形式等价的结论。