[论文解读] A Note on the Existence of the Multivariate Gamma Distribution

Thomas Royen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2016

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明了对于所有实数自由度 d > ⌊(p−1)/2⌋，p元伽马分布的存在性，且无需对相关协方差矩阵施加限制性假设。通过推导中心与非中心多变量伽马分布之间的关系，作者证明了当 d 为大于 (p−1)/2 的非整数时，该分布依然存在，从而扩展了以往要求 d 为整数或协方差结构具有特定形式的研究结果。

ABSTRACT

The p-variate gamma distribution in the sense of Krishnamoorthy and Parthasarathy exists for all positive integer degrees of freedom d and at least for all real values d > p-2, p > 1. For special structures of the "associated" covariance matrix it also exists for all positive d. In this paper a relation between central and non-central multivariate gamma distributions is shown, which implies the existence of the p-variate gamma distribution at least for all non-integer d greater than the integer part of (p-1)/2 without any additional assumptions for the associated covariance matrix.

研究动机与目标

• 解决多变量伽马分布存在性条件的问题，突破以往的约束限制。
• 将 p元伽马分布的已知存在域扩展至非整数自由度。
• 消除在分布定义中对相关协方差矩阵施加的限制性假设。
• 为多变量伽马分布在统计学与概率论中的更广泛应用建立理论基础。

提出的方法

• 推导中心与非中心多变量伽马分布之间的数学关系。
• 利用该关系推断非整数自由度下的存在性性质。
• 应用已知的关于整数 d > p−2 且 d ∈ ℕ 的多变量伽马分布结果。
• 借助中心与非中心形式之间的联系，将存在性结果扩展至 d > ⌊(p−1)/2⌋。
• 分析相关协方差矩阵的结构，并证明无需额外假设。
• 采用概率论与多元分布理论中的技术，证明在最小条件下该分布的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 d 不一定是整数时，p元伽马分布对哪些 d 值存在？
• RQ2 是否可以在不对相关协方差矩阵施加结构约束的前提下，建立多变量伽马分布的存在性？
• RQ3 在一般情况下，p元伽马分布存在的最小 d 下界是什么？
• RQ4 中心与非中心多变量伽马分布之间的关系如何影响该分布的存在性？
• RQ5 能否通过分布关系将先前针对整数 d 的存在性结果推广至非整数 d？

主要发现

• 当 p > 1 时，p元伽马分布对所有实数 d > p−2 存在。
• 对于特殊协方差矩阵结构，当所有 d > 0 时分布存在。
• 对于所有非整数 d > ⌊(p−1)/2⌋，该分布存在，且无需对协方差矩阵施加额外假设。
• 关键结果是：当 d > ⌊(p−1)/2⌋ 时，该分布存在，这一结果推广了早期研究结果。
• 证明依赖于推导出的中心与非中心多变量伽马分布之间的关系。
• 该结果将存在域扩展至非整数自由度，并消除了对协方差矩阵的限制性假设。