[论文解读] A Note on the Gauge Group of the Electroweak Interactions

V.A. Rizov, Ivan Vitev|ArXiv.org|Sep 14, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出对 U(2) 的三重覆盖，称为元单位群 MU(2)，作为电弱相互作用的规范群，以一致地描述具有分数电荷的场（例如 ±1/3、±2/3、±1）。通过将 MU(n) 构造为 (R × SU(n))/3Z，该框架可通过如 Det^{k/3} 这类同态，实现具有分数值的 U(1) 电磁荷的明确定义表示，从而解决标准模型中 U(1) 弱超荷分配的不一致性。

ABSTRACT

We propose a three-fold covering of the group ${U}(2)$ as a gauge group for the electroweak interactions for the purpose of describing fields with integer and fractional electric charges with respect to the residual electromagnetic gauge group after a spontaneous breaking of the gauge symmetry. In a more general scheme we construct a three-fold covering of ${U} (n)$ and consider for the case $n=2$ several representations which are used in the construction of a model of the electroweak interactions in a subsequent paper.

研究动机与目标

• 为解决标准模型中 U(1) 弱超荷分配的不一致问题，该问题无法一致描述如 ±1/3、±2/3 等分数电荷。
• 构建一个规范群，使其在自发对称性破缺后能够支持具有整数和分数电荷的场。
• 通过 U(n) 的三重覆盖（重点为 n=2 的电弱理论）提供一个数学上一致的框架，用于分数弱超荷分配。
• 定义 MU(2) 及其李代数的表示，使其对轻子和夸克产生正确的电荷。
• 为后续基于 MU(2) 规范群的电弱相互作用模型奠定基础。

提出的方法

• 将元单位群 MU(n) 构造为商群 (R × SU(n))/3Z，其中 R 表示 U(1) 弱超荷，SU(n) 表示弱同位spin。
• 通过 T[u,A] = e^{iu}A 定义一个满同态 T: MU(n) → U(n)，表明 MU(n) 是 U(n) 的三重覆盖。
• 引入同态 Det^{k/3}: MU(2) → U(1)，定义为 Det^{k/3}[u,A] = e^{i(2k/3)u}，用于为场分配分数电荷。
• 利用映射 T^k = Det^{k/3} · T 定义 MU(2) → U(2) 的群同态，产生具有特定弱超荷和电荷分配的表示。
• 通过限制 Det^{k/3} 和 T^k，构造电磁子群 MU_em(1) ⊂ MU(2) 的一维表示，分配电荷 q_w = k/3。
• 通过对群同态求导，推导 MU(2) 的李代数表示，得到 U(1) 生成元具有分数特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 U(2) 的三重覆盖能否提供一个一致的规范群，用于电弱相互作用并支持具有分数电荷的场？
• RQ2 标准模型中无法适用于 ±1/3 等分数电荷的 U(1) 弱超荷分配，如何实现一致推广？
• RQ3 何种数学结构的覆盖群可允许在电磁子群下对 U(1) 实现明确定义的分数表示？
• RQ4 MU(2) 及其李代数的表示如何重现夸克和轻子的正确电荷？
• RQ5 该覆盖群框架能否一致地定义规范理论中的协变导数结构？

主要发现

• 元单位群 MU(2) = (R × SU(2))/3Z 被构造为 U(2) 的三重覆盖，为电弱相互作用提供了一致的规范群。
• 同态 Det^{1/3}: MU(2) → U(1) 将电荷 q_w = -1/3 分配给场，对应弱超荷 Y = 1/3，解决了标准模型分配中的不一致问题。
• 表示 T^{-2}: MU(2) → U(2) 对左手场赋予电荷 q_w = -1/3，对右手场赋予 q_w = 2/3，与夸克和轻子的分配一致。
• MU(2) 的李代数表示表明，U(1) 生成元 X 在不同表示下的本征值为 -1/2、1/6、-1/3、2/3 和 -1，对应于分数电荷。
• 映射 T: MU(2) → U(2) 的核由三个不同元素组成，确认 MU(2) 是 U(2) 的三重覆盖，且 T 为满同态。
• 该框架允许电磁子群 MU_em(1) 的一维表示的直和，每个表示具有固定的电荷，类似于标准模型，但实现了一致的分数分配。