[论文解读] A note on the independence number, domination number and related parameters of random binary search trees and random recursive trees

Michael Fuchs, Cecilia Holmgren+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 35被引用 6

一句话总结

本文建立了随机二叉搜索树和随机递归树中独立数、支配数及团覆盖数的中心极限定理。通过这些模型中邻域树的一般框架，作者证明了这些图参数在其均值附近表现出渐近正态波动，其精确极限分布通过子树结构的概率分析及函数极限定律推导得出。

ABSTRACT

We identify the mean growth of the independence number of random binary search trees and random recursive trees and show normal fluctuations around their means. Similarly we also show normal limit laws for the domination number and variations of it for these two cases of random tree models. Our results are an application of a recent general theorem of Holmgren and Janson on fringe trees in these two random tree models.

研究动机与目标

• 分析随机二叉搜索树与随机递归树中独立数的渐近行为。
• 在两种随机树模型中，为支配数及相关参数建立中心极限定理。
• 利用树的结构特性，为这些树模型中团覆盖数的极限分布提供直接证明。
• 将近期关于邻域树分布的结果推广，以推导随机树结构中关键图参数的极限定律。
• 在随机树的统一概率框架下，整合分析多个图参数（如独立数、支配数及团覆盖数）

提出的方法

• 应用 Holmgren 与 Janson 关于随机二叉搜索树与随机递归树中邻域树的一般定理。
• 利用随机递归树的分解性质：在根处分割可得到两个大小随机的独立随机递归树。
• 利用随机二叉搜索树的递归结构，其中根处的左右子树大小呈均匀分布。
• 将图参数建模为树结构上的可加泛函，依赖于邻域树分布的收敛性。
• 对邻域树的局部贡献之和应用函数极限定律与中心极限定理，推导出渐近正态性。
• 建立团覆盖数与局部指示变量之和的分布等价性，从而可应用现有极限定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机二叉搜索树与随机递归树中独立数的渐近均值与方差为何？
• RQ2 这些随机树模型中的独立数与支配数是否满足中心极限定理？
• RQ3 随机二叉搜索树与随机递归树中团覆盖数的渐近行为如何？
• RQ4 支配数的极限分布能否使用与独立数相同的框架推导？
• RQ5 邻域树分布在此类随机树中建立全局图参数极限定律的过程中起何作用？

主要发现

• 随机二叉搜索树与随机递归树的独立数满足中心极限定理，其波动在均值附近渐近正态。
• 两种随机树模型中支配数及其变体也表现出渐近正态的极限分布。
• 这些随机树的团覆盖数可表示为邻域树局部贡献之和，其极限分布为正态分布。
• 已确定独立数的均值增长方式，并证明其与顶点数呈线性关系，其精确渐近常数可通过邻域树分析推导得出。
• 结果基于邻域树的一般框架推导，该框架可将局部子树结构的极限定律传递至全局图参数。
• 分析结果证实，独立数、支配数与团覆盖数在适当的中心化与标准化下，均依分布收敛于正态分布。