[论文解读] A note on the isotonic vector-valued convex functions

Constantin P. Niculescu, Octav Olteanu|arXiv (Cornell University)|May 3, 2020

Optimization and Variational Analysis参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文通过次微分刻画了有序巴拿赫空间上连续凸向量值函数的保序性。研究建立了一个变分准则：若且唯若在每一点的次微分均由正线性算子构成，则该凸函数是保序的（即保持序关系），从而在无限维有序空间中为保序性提供了变分准则，并将其应用于Choquet积分与次线性算子。

ABSTRACT

The property of isotonicity of a continuous convex function defined on the entire space or only on the positive cone is characterized via subdifferentials. Numerous examples illustrating the obtained results are included.

研究动机与目标

• 刻画取值于有序巴拿赫空间的连续凸函数的保序性。
• 利用次微分建立保序性的变分准则。
• 将标量情形下的结果推广至有序拓扑向量空间中的向量值凸函数。
• 提供示例与应用，包括Choquet积分与次线性算子。
• 阐明无限维情形下序结构、凸性与连续性之间的关系。

提出的方法

• 以凸函数的次微分为主要工具，分析有序巴拿赫空间中的保序性。
• 应用正线性算子的概念，并通过Banach-Steinhaus定理证明其连续性。
• 利用Hahn-Banach分离定理，通过共轭锥元素刻画序关系。
• 利用正则有序巴拿赫空间的结构，其中范数与序锥相容。
• 分析Choquet积分为连续、次线性且保序的泛函，定义于连续函数空间C(X)上。
• 通过多个次模容量构造向量值算子，将标量结果推广至ℝⁿ值情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有序巴拿赫空间之间取值的连续凸函数是保序的（即保持序关系）？
• RQ2 如何通过其次微分刻画凸函数的保序性？
• RQ3 正线性算子与次微分在无限维空间中确定保序性时发挥何种作用？
• RQ4 在向量值凸函数的背景下，Choquet积分如何与次线性和保序泛函相关联？
• RQ5 能否通过正的、正则的且σ-可加的向量测度，建立次模容量的上确界性质？

主要发现

• 取值于有序巴拿赫空间的连续凸函数Φ是保序的，当且仅当其在每一点的次微分均由正线性算子构成。
• 任意两个有序巴拿赫空间之间的正线性算子必然是连续的，此结论通过Banach-Steinhaus定理与序列论证得以证明。
• 当赋予共轭锥结构时，有序巴拿赫空间的对偶空间本身也是一个正则有序巴拿赫空间。
• Choquet积分在C(X)上定义了一个连续、次线性且保序的泛函，并可通过多个容量自然推广至向量值情形。
• 对每个非零连续函数h，存在一个由向量值Choquet算子P控制的正线性算子T，使得T(h) = P(h)。
• 每个从B(K)到ℝⁿ的次模容量μ，都是所有被μ控制的正的、正则的且σ-可加的向量测度的上确界。