[论文解读] A Note on the Isotopism of Commutative Semifields

Yue Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文构造了在 $\mathbb{F}_{3^6}$ 上两个同胚但非强同胚的交换半域的显式例子，表明 Coulter 与 Henderson 关于奇数阶 $p^n$ 半域（$n$ 为奇数）的关键结果无法推广至偶数 $n$ 的情形。该例子使用 LMPTB 与 BHB 半域，表明在偶特征情况下，同胚不蕴含强同胚，并通过其乘法表导出的非等价平面函数确认了其非等价性。

ABSTRACT

We present an example of two isotopic but not strongly isotopic commutative semifields. This example shows that a recent result of Coulter and Henderson on semifield of order p^n, n odd, can not be generalized to the case n even.

研究动机与目标

• 研究 Coulter 与 Henderson 关于奇数阶 $p^n$ 交换半域（$n$ 为奇数）的同胚结果是否可推广至 $n$ 为偶数的情形。
• 在 $\mathbb{F}_{3^6}$ 上构造同胚但非强同胚的交换半域的显式例子。
• 确定在 $n$ 为偶数时，同胚是否蕴含交换半域设置下的强同胚。
• 通过码等价性方法分析相关平面函数的等价性。

提出的方法

• 使用 $\mathbb{F}_3$ 上的定义多项式 $x^6 - x^4 + x^2 - x - 1$ 构造 LMPTB 半域 $F_1 = (\mathbb{F}_{3^6}, +, \star)$。
• 通过 $x \odot y = (\lambda \star x) \star y$ 定义一个新的半域 $F_2 = (\mathbb{F}_{3^6}, +, \odot)$，其中 $\lambda = \xi^{91}$，表明 $F_1$ 与 $F_2$ 同胚。
• 使用 $\mathbb{F}_{3^6}$ 上的拉格朗日插值法计算平面函数 $f_1(x) = x \star x$ 与 $f_2(x) = x \odot x$。
• 从 $f_1$ 与 $f_2$ 的图像构造线性码 $C_{f_1}$ 与 $C_{f_2}$，生成矩阵由输入-输出对导出。
• 使用 MAGMA 测试 $C_{f_1}$ 与 $C_{f_2}$ 的单项等价性，其中置换等价性等价于平面函数的 CCZ-等价性。
• 应用结果：平面函数的 CCZ-等价性蕴含 EA-等价性，并利用码的非等价性得出函数的非等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Coulter 与 Henderson 关于奇数阶 $p^n$ 交换半域（$n$ 为奇数）的同胚结果能否推广至 $n$ 为偶数的情形？
• RQ2 是否存在 $n$ 为偶数时同胚但非强同胚的交换半域的例子？
• RQ3 同胚的交换半域是否总是通过 EA 或 CCZ 等价性产生等价的平面函数？
• RQ4 半域的核结构能否用于检测非强同胚？
• RQ5 是否存在一种计算方法，可通过相关平面函数及其码来区分同胚但非强同胚的半域？

主要发现

• 构造了在 $\mathbb{F}_{3^6}$ 上两个同胚但非强同胚的交换半域的显式例子，推翻了 Coulter-Henderson 定理向偶数 $n$ 推广的可能。
• 半域 $F_1$（LMPTB）与 $F_2$（由 $\lambda = \xi^{91}$ 定义）同胚但非强同胚，其结论由码的非等价性确认。
• 平面函数 $f_1(x) = x \star x$ 与 $f_2(x) = x \odot x$ 不是 EA-等价的，因为其对应的线性码 $C_{f_1}$ 与 $C_{f_2}$ 不是单项等价的。
• 发现码 $C_{f_2}$ 与 $3^6$ 阶 BHB 半域的码是单项等价的，意味着 BHB 与 LMPTB 半域同胚但非强同胚。
• $F_1$ 的核满足 $|N_m(F_1)| = 3^2$ 且 $|N(F_1)| = 3$，且 $N_m(F_1) \setminus N(F_1)$ 中的四个元素无法表示为 $\gamma \star \beta^2$，这些元素是构造同胚的关键。
• 结果表明，在 $n$ 为偶数时，同胚不蕴含强同胚，且可通过同胚生成新的非等价平面函数。