[论文解读] A note on the joint measurability of POVMs and its implications for contextuality

Ravi Kunjwal|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

EEG and Brain-Computer Interfaces参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文阐明了正算子值测度（POVM）的联合可测量性与量子力学中contextuality之间的逻辑关系。研究表明，即使两两联合测量存在，但三重联合测量不存在时，contextuality 依然可能出现，突显了POVM中联合测量的非唯一性使得contextuality超越了投影值测度（PVM）所能实现的范围。

ABSTRACT

The purpose of this note is to clarify the logical relationship between joint measurability and contextuality for quantum observables in view of recent developments [1-4].

研究动机与目标

• 阐明POVM联合可测量性与量子理论中contextuality之间的逻辑关系。
• 解决近期文献中关于是否可在POVM的联合可测量性结构中展示contextuality的模糊性。
• 证明即使三个POVM两两可联合测量但不可三重联合测量，contextuality依然可能发生。
• 确立POVM中两两相容性不能推出全局相容性，这是实现超越PVM的contextuality的关键。
• 证明量子理论可通过二元POVM实现任意联合可测量性结构，从而开启新的contextuality情景。

提出的方法

• 证明对于最多一个非PVM的POVM集合，联合可测量性等价于两两可交换性，且联合POVM唯一确定为各算子的乘积。
• 利用联合POVM的结构，证明对于PVM，两两可交换性意味着全局联合可测量性，这是由于联合测量的唯一性。
• 分析一个在qubit上进行三设置的三等分测量情景，以可见性参数η参数化，研究联合可测量性与contextuality。
• 推导LSW不等式的量子贝尔不等式违反，作为η的函数，表达式为 $ R_{3}^{Q} = rac{1}{2} + rac{ heta^2}{4} + rac{1}{2}ig(1 - 2 heta^2 + rac{ heta^4}{4}ig)^{1/2} $，其中 $ heta = rac{2}{3} $ 时达到最大违反。
• 比较两种情形：'强'（η > 2/3，无三重联合）与'弱'（η ≤ 2/3，三重联合可能），表明当放宽约束时，最大量子违反从0.0336增加至0.0896。
• 确立contextuality（通过LSW不等式违反）要求'弱'条件（存在两重联合测量但无三重联合测量），使其成为该框架中contextuality的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三个POVM两两可联合测量但不可三重联合测量的联合可测量性结构中，是否可以展示contextuality？
• RQ2 POVM联合测量中的非唯一性在实现超越PVM可能的contextuality中起到什么作用？
• RQ3 存在两两联合测量是否足以引发contextuality，还是必须存在全局联合测量的失败？
• RQ4 是否任何联合可测量性结构都可通过POVM在量子理论中实现，其对contextuality有何影响？
• RQ5 在三设置contextuality情景中，放宽对可见性（η）的约束如何影响LSW不等式的最大量子违反？

主要发现

• 对于PVM，联合可测量性等价于两两可交换性，且联合测量唯一，这限制了contextuality的可能性。
• 对于POVM，两两相容性不蕴含全局联合可测量性，使得在PVM无法展示的场景中可能出现contextuality。
• 当允许三重联合测量时，LSW不等式的最大量子违反从'强'条件（η → 2/3）下的0.0336增加至'弱'条件（η ≈ 0.4566）下的0.0896。
• 三等分测量的量子反相关概率为 $ R_{3}^{Q} = rac{1}{2} + rac{ heta^2}{4} + rac{1}{2}ig(1 - 2 heta^2 + rac{ heta^4}{4}ig)^{1/2} $，与FyuOh（2014）的界一致。
• '弱'条件（存在两重联合测量但无三重联合测量）是contextuality的必要条件但非充分条件，因为某些满足该条件的配置并不违反LSW不等式。
• 任何N个可观测量的联合可测量性结构都可通过量子理论中的二元POVM实现，从而开启PVM无法实现的contextuality情景。