[论文解读] A Note on the Ladyzenskaja-Babuska-Brezzi Condition

Abner J. Salgado, Johnny Guzmán+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文在拟一致、形状正则的网格假设下，建立了斯托克斯问题混合有限元方法中经典Ladyzenskaja-Babuška-Brezzi（LBB）条件与广义LBB（GLBB）条件之间的等价性。证明了当区域具有足够正则性时，GLBB蕴含LBB，并进一步表明GLBB蕴含与预条件处理和时间依赖问题相关的加权inf-sup条件。

ABSTRACT

The analysis of finite-element-like Galerkin discretization techniques for the stationary Stokes problem relies on the so-called LBB condition. In this work we discuss equivalent formulations of the LBB condition.

研究动机与目标

• 阐明混合有限元方法中经典LBB条件与广义LBB（GLBB）条件之间的关系。
• 研究在拟一致网格上，GLBB是否蕴含经典LBB条件。
• 证明GLBB蕴含预条件处理和时间依赖斯托克斯问题中使用的加权inf-sup条件。
• 建立GLBB足以保证存在L²有界Fortin投影，从而确保稳定性与收敛性。

提出的方法

• 使用Scott-Zhang插值算子构造具有L²逼近性质的Fortin投影。
• 应用逆不等式与网格正则性假设（拟一致、形状正则）以控制范数。
• 采用涉及范数‖·‖_H¹+ε⁻¹L²与‖·‖_L²∩εH¹的加权inf-sup条件，以分析预条件处理。
• 利用存在满足(2.8)式的Fortin算子，将连续inf-sup稳定性转移至离散设置。
• 基于ε与网格尺寸h的相对关系进行情形分析，以证明加权inf-sup条件。
• 依赖于区域正则性（相对于一个球星形）以确保连续inf-sup稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拟一致网格上，广义LBB条件（GLBB）是否与经典LBB条件等价？
• RQ2 GLBB条件是否蕴含时间依赖斯托克斯问题预条件处理中使用的加权inf-sup条件？
• RQ3 在GLBB条件下，能否保证存在L²有界Fortin投影？
• RQ4 当斯托克斯解具有H²正则性时，GLBB是否蕴含LBB？
• RQ5 GLBB能否用于建立所有标准inf-sup稳定有限元空间（包括Taylor-Hood与mini元）的稳定性？

主要发现

• 在拟一致、形状正则的网格上，广义LBB条件（GLBB）蕴含经典LBB条件。
• 当区域对斯托克斯问题具有H²正则性时，GLBB与LBB等价。
• GLBB条件蕴含加权inf-sup条件(5.1)，且常数与ε和h无关。
• 在二维最低阶Taylor-Hood元中，GLBB蕴含加权inf-sup条件，且该结论可推广至所有二维与三维Taylor-Hood元。
• GLBB条件确保存在L²有界且具有最优逼近性质的Fortin投影。
• 结果基于拟一致网格假设成立，作者未解决该条件是否可被移除。