[论文解读] A note on the Penon definition of $n$-category

Eugenia Cheng, Michael Makkai|ArXiv.org|Jul 23, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文指出了 Penon 定义 $n$-范畴中的一个缺陷：在他的框架下，双重退化的三范畴（tricategories）会生成对称单子范畴（symmetric monoidal categories），而非更广泛的辫状单子范畴（braided monoidal categories）。作者提出了一种基于非自反胞状集（non-reflexive globular sets）的修正定义，恢复了预期的一般性，并确保了不带对称性的辫状单子范畴能够被正确捕捉。

ABSTRACT

We show that doubly degenerate Penon tricategories give symmetric rather than braided monoidal categories. We prove that Penon tricategories cannot give all tricategories, but we show that a slightly modified version of the definition rectifies the situation. We give the modified definition, using non-reflexive rather than reflexive globular sets, and show that the problem with doubly degenerate tricategories does not arise.

研究动机与目标

• 调查 Penon 的 $n$-范畴定义是否正确捕捉了预期的低维示例，特别是双重退化的三范畴情形。
• 识别原始定义中的根本缺陷：在单对象、单箭头的情形下，它强制生成对称单子范畴，而非更一般的辫状单子范畴。
• 证明 Penon 的原始三范畴无法表示所有三范畴，特别是那些具有非对称辫子结构的三范畴。
• 提出一种基于非自反胞状集的 $n$-范畴修正定义，以解决该问题并恢复正确的范畴结构。
• 表明修改后的定义能正确捕捉不带额外对称性的辫状单子范畴。

提出的方法

• 通过将双重退化的 Penon 三范畴表示为单子范畴，并识别其诱导的辫子结构，分析其结构。
• 证明在自反胞状集框架下，源或目标为恒等态射的非恒等 2-胞状集会强制辫子为对称的。
• 构造一个具体的例子：一个无法赋予对称性的辫状单子范畴，从而证明它无法被 Penon 的原始定义所捕捉。
• 提出一种基于非自反胞状集的 $n$-范畴修正定义，其中恒等态射在自由范畴构造中被自由添加。
• 证明在非自反设定下，仅恒等胞状集具有恒等源或目标，从而防止不想要的对称性出现。
• 验证修改后的定义在双重退化情形下能正确生成辫状单子范畴，且不强制对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Penon 的原始 $n$-范畴定义是否正确捕捉了双重退化情形下的辫状单子范畴类？
• RQ2 为何 Penon 通过自反胞状集定义的 $n$-范畴会导致对称单子范畴，而非一般性的辫状单子范畴？
• RQ3 能否构造一种 $n$-范畴的修正定义，以避免在双重退化的三范畴情形下强制对称性？
• RQ4 使用非自反胞状集是否足以在 Penon 框架中恢复正确的普遍性？
• RQ5 修改后的公理是否仍能产生一个行为良好的 $n$-范畴概念，包含所有期望的三范畴示例？

主要发现

• 双重退化的 Penon 三范畴被证明生成对称单子范畴，而非更广泛的辫状单子范畴类。
• 原始 Penon 定义因自反胞状集允许源或目标为恒等态射的非恒等 2-胞状集，从而无法捕捉所有三范畴，且强制产生对称性。
• 构造了一个反例：一个无法赋予对称性的辫状单子范畴，因此无法从 Penon 三范畴中产生。
• 通过使用非自反胞状集的修正定义，可避免该问题，确保仅恒等胞状集具有恒等源或目标。
• 在非自反设定下，自由 3-范畴构造不会生成源或目标为恒等态射的非恒等胞状集，因此辫子不会被强制为对称。
• 修正后的定义在双重退化情形下成功捕捉了辫状单子范畴，解决了原始表述中的问题。