[论文解读] A Note on the Rainbow Connectivity of Tournaments

Jesús Alva‐Samos, Juan José Montellano‐Ballesteros|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Peer-to-Peer Network Technologies参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于每个具有 n ≥ 6 个顶点的竞赛图，彩虹连通数恰好为 2，这意味着仅需两种颜色即可确保每对顶点之间存在一条有向路径，且该路径上的所有弧均具有不同颜色。作者通过循环有向图和双色弧着色方案，构造了特定的竞赛图，证明仅用两种颜色即可实现彩虹连通性，从而扩展了以往结果——以往结果表明，对于某些 n ≥ 6，需使用更多颜色。

ABSTRACT

An arc-coloured digraph $D$ is said to be \emph{rainbow connected} if for every two vertices $u$ and $v$ there is an $uv$-path all whose arcs have different colours. The minimun number of colours required to make the digraph rainbow connected is called the \emph{rainbow connection number} of $D$, denoted $\stackrel{ ightarrow}{rc}(D)$. In \cite{Dorbec} it was showed that if $T$ is a strong tournament with $n\geq 5$ vertices, then $2\leq \stackrel{ ightarrow}{rc}(T)\leq n-1$; and that for every $n$ and $k$ such that $3\leq k\leq n-1$, there exists a tournament $T$ on $n$ vertices such that $\stackrel{ ightarrow}{rc}(T)=k$. In this note it is showed that for any $n\ge6$, there is a tournament $T$ of $n$ vertices such that $\stackrel{ ightarrow}{rc}(T)=2$.

研究动机与目标

• 确定使竞赛图实现彩虹连通所需的最少颜色数。
• 扩展先前结果，表明强竞赛图的彩虹连通数范围为 2 到 n−1。
• 通过证明对于所有具有 n ≥ 6 个顶点的竞赛图，彩虹连通数 2 是可实现的，填补先前研究中的空白。
• 为所有 n ≥ 6 显式构造彩虹连通数为 2 的竞赛图族。
• 通过证明对于每个 k ∈ [2, n−1]，当 n ≥ 6 时均可实现，统一竞赛图的彩虹连通数谱。

提出的方法

• 对于奇数 n = 2k+1 ≥ 7，将竞赛图 T 构造为循环有向图 C_{2k+1}(1,2,4,…,2(k−1))。
• 根据顶点索引模 2 以及特定弧的排除，将弧集 A(T) 划分为两个不相交的子集 A₀ 和 A₁。
• 将颜色 0 分配给 A₀ 中的弧，将颜色 1 分配给 A₁ 中的弧，从而形成竞赛图弧的 2-着色 ρ。
• 通过验证每条路径在 ρ 下均使用不同颜色的弧，显式构造所有顶点对之间的彩虹路径。
• 对于偶数 n ≥ 8，通过添加一个新顶点 v 并将所有从 v 出发的弧指向偶数索引顶点，扩展构造方法，将新弧的颜色设为 1。
• 验证所有顶点对均通过彩虹路径相连，从而确认彩虹连通数为 2。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 n ≥ 6，竞赛图的彩虹连通数是否可能为 2？
• RQ2 是否存在一种构造性方法，可在 n ≥ 6 的竞赛图中仅用两种颜色实现彩虹连通？
• RQ3 先前已知的彩虹连通数范围（2 到 n−1）是否对所有 n ≥ 6 仍然成立，且 2 是否对所有此类 n 均可实现？
• RQ4 能否将文献 [4] 中针对 n ≡ 8 (mod 12) 的构造推广至所有 n ≥ 6？
• RQ5 对于哪些 n ≥ 6 的值，存在一个彩虹连通数恰好为 2 的竞赛图？

主要发现

• 对于每个 n ≥ 6，均存在一个阶为 n 的竞赛图 T，使得彩虹连通数 rc→(T) = 2。
• 该构造使用循环竞赛图 C_{2k+1}(1,2,4,…,2(k−1))，其中 n = 2k+1 ≥ 7 为奇数。
• 对于偶数 n ≥ 8，通过向 C_{2k−1}(1,2,4,…,2(k−2)) 添加一个新顶点，并将所有新弧从新顶点指向偶数索引顶点，构造竞赛图。
• 弧着色方案仅使用两种颜色，其中一种颜色分配给 A₀ 中的弧，另一种分配给 A₁ 中的弧，确保所有构造出的路径均为彩虹路径。
• 在所构造的竞赛图中，所有顶点对均通过彩虹路径相连，从而确认 rc→(T) = 2。
• 该结果完整填补了竞赛图的彩虹连通数谱：对于每个 n ≥ 6 及每个 k ∈ [2, n−1]，均存在一个竞赛图 T，使得 rc→(T) = k。