[论文解读] A Note on the scale symmetry and Noether current

Naohisa Ogawa|ArXiv.org|Jul 13, 1998

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了经典力学与场论中的尺度对称性，其中作用量在尺度变换下不具不变性，但运动方程仍保持不变。论文证明作用量可表示为时间边界上形式（非守恒）诺特定量的差值，在场论中则表示为形式诺特当前的边界积分，从而提出了一种超越标准诺特定理的尺度对称性新表述。

ABSTRACT

Usually we consider the symmetry of action as the symmetry of the theory, however, in the Keplar problem the scaling symmetry existing in equa tion of motion is not the ones for action. It changes the multiplicative c onstant of action and the time boundary. In such a case that the scale tran sformation does not leave the action invariant but keeping the equation inva riant, the following statement is proved. The time integration of Lagrangian is explicitly performed and the action ca n be expressed by the difference of formal (non-conserved) Noether charges a t time boundaries. In field theory the action can be expressed by the bound ary integration of the formal Noether current.

研究动机与目标

• 分析作用量在尺度变换下不具不变性但运动方程仍保持对称的系统中的尺度对称性。
• 解决标准诺特定理在作用量不具不变性的尺度对称系统中失效的问题。
• 即使当前不守恒，也将作用量重新表述为形式诺特定量在边界上的取值。
• 将形式拓展至场论，将作用量表示为诺特当前的边界积分。
• 阐明时间边界条件与乘法常数在作用量不具不变性时对尺度对称性的作用。

提出的方法

• 通过求取拉格朗日量的时间积分，将作用量表示为初时与末时形式诺特定量的差值。
• 引入‘形式’诺特定量的概念，其因作用量的尺度非不变性而不满足守恒定律。
• 以开普勒问题作为关键范例，应用该形式，其中尺度对称性存在于运动方程中但不存在于作用量中。
• 通过将作用量表示为诺特当前的边界积分，将该构造推广至场论。
• 利用变分法证明，尽管作用量泛函本身不具不变性，作用量在尺度变换下仍保持不变。
• 分析作用量在尺度变换下的变换行为，包括乘法常数与时间边界位移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在作用量不具尺度变换不变性的系统中，如何一致地定义尺度对称性？
• RQ2 当诺特当前不守恒时，作用量中的边界项起什么作用？
• RQ3 即使对称性不使作用量保持不变，是否仍能从形式诺特定量重构作用量？
• RQ4 该形式如何从力学推广至场论中的尺度对称性情境？
• RQ5 在作用量不具不变性的尺度对称系统中，时间边界依赖性的物理意义是什么？

主要发现

• 在作用量不具不变性的尺度对称系统中，作用量可表示为时间边界上形式诺特定量的差值。
• 即使诺特当前不守恒，拉格朗日量的时间积分仍能导出明确的边界表达式。
• 该形式成功解释了开普勒问题中的尺度对称性，其中作用量不具不变性但运动方程具有对称性。
• 在场论中，作用量被证明可表示为形式诺特当前的边界积分，推广了力学结果。
• 作用量在尺度变换下的变换包括一个乘法常数与时间边界的位移，这些对对称性保持至关重要。
• 结果表明，诺特定理可超越守恒当前的限制，通过在非不变设定中考虑形式电荷加以拓展。