[论文解读] A Note on the Two Approaches to Stringy Functors for Orbifolds

Ralph M. Kaufmann|ArXiv.org|Mar 7, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文调和了构造轨道丛上规范函子的两种方法：先拉后推与先推后拉。在循环扭变扇区与deRham上同调的设定下，通过形式分数欧拉类与陈类上推，证明了两种形式体系在规范乘法上等价。关键结果是通过添加根的环扩张，形式化地消除了障碍上循环，从而完成了$G$-Frobenius代数的重构程序。

ABSTRACT

In this note, we reconcile two approaches that have been used to construct stringy multiplications. The pushing forward after pulling back that has been used to give a global stringy extension of the functors K_0,K^{top},A^*,H^* [CR, FG, AGV, JKK2], and the pulling back after having pushed forward, which we have previously used in our (re)-construction program for G-Frobenius algebras, notably in considerations of singularities with symmetries and for symmetric products. A similar approach was also used by [CH] in their considerations of the Chen-Ruan product in a deRham setting for Abelian orbifolds. We show that the pull-push formalism has a solution by the push-pull equations in two situations. The first is a deRham formalism with Thom push-forward maps and the second is the setting of cyclic twisted sectors, which was at the heart of the (re)-construction program. We go on to do formal calculations using fractional Euler classes which allows us to formally treat all the stringy multiplications mentioned above in the general setting. The upshot is the formal trivialization of the co-cycles of the reconstruction program using the presentation of the obstruction bundle of [JKK2].

研究动机与目标

• 调和两种不同的形式体系——拉后推与推后拉——以在轨道丛上同调中构造规范乘法。
• 在循环扭变扇区与deRham上同调的背景下，确立这两种方法的等价性。
• 通过陈类上推与形式分数欧拉类，为一般全局商空间提供严谨的框架。
• 通过在环中添加根，证明障碍上循环可在扩展环中形式化消去，从而完成$G$-Frobenius代数的重构程序。
• 通过有理$K$-理论中的形式演算与deRham链，将Chen–Ruan乘积构造推广至非阿贝尔群。

提出的方法

• 使用拉-推与推-拉形式体系，在全局商空间$X/G$的惯性簇上定义规范乘法。
• 应用投影公式与循环扭变扇区中截面的存在性，使两种方法等价。
• 在deRham设定中使用陈类上推映射，定义上推至同伦等价，确保与上同调上推的一致性。
• 在有理$K$-理论中引入负与分数阶向量丛的形式分数欧拉类，使障碍丛的代数处理成为可能。
• 在上同调或$K$-理论环中添加$|m|$-次根，以定义$Ω(S_m)$，从而实现良好定义的规范乘积构造。
• 利用多余交公式与欧拉类的自然变换性质，验证不同几何函子（$H^*, A^*, K_0, K^{top}$）之间形式演算的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全局轨道丛的设定下，拉后推与推后拉的规范函子构造能否被调和？
• RQ2 推-拉形式体系是否能为$G$-Frobenius代数的重构程序在循环扭变扇区中提供解？
• RQ3 能否通过分数欧拉类形式化消去重构程序中的障碍上循环？
• RQ4 在deRham设定中，使用陈类形式与形式演算，推-拉形式体系是否在同伦意义下保持相容？
• RQ5 能否通过有理$K$-理论中的形式根扩张，将阿贝尔轨道丛的Chen–Ruan乘积推广至非阿贝尔群？

主要发现

• 在循环扭变扇区中，拉-推与推-拉形式体系等价，两者均产生一致的规范乘法。
• 在deRham设定中，推-拉形式体系在同伦意义下成立，所有所需公式在模上恰当形式下成立。
• 负与有理$K$-理论丛的形式分数欧拉类，使重构程序中障碍丛的处理保持一致。
• 障碍上循环$S_m$在通过添加$|m|$-次根至上同调或$K$-理论环所得到的环扩张中被形式化消去。
• 规范乘积是良好定义的，且可通过扩展环中的形式体系$Ω(S_m) = \prod_{k \neq 0,i} w_{m,k,i}^{k/|m|}$显式构造。
• 该构造将Chen–Ruan乘积推广至非阿贝尔轨道丛，并通过形式演算完成了$G$-Frobenius代数的重构程序。