[论文解读] A note on the very ampleness of complete linear systems on blowings-up of P^3

Cindy De Volder, Antonio Laface|ArXiv.org|Sep 27, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文建立了在 ℙ³ 沿 r 个位于光滑二次曲面上的一般点进行 blown-up 后，完整线性系统非常 ample、基点自由及非特殊性的必要与充分条件。通过上同调技巧和对点数的归纳法，证明了线性系统 |dH − m₁E₁ − ⋯ − mᵣEᵣ| 为非常 ample 当且仅当 mᵣ > 0，d ≥ m₁ + m₂ + 1，且 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 3。

ABSTRACT

In this note we consider the blowing-up X of P^3 along r general points of the anticanonical divisor of a smooth quadric in P^3. Given a complete linear system |L| = |dH - m_1 E_1 -...- m_r E_r| on X, with H the pull-back of a plane in P^3 and E_i the exceptional divisor corresponding to P_i, we give necessary and sufficient conditions for the very ampleness (resp. base point freeness and non-speciality) of L. As a corollary we obtain a sufficient condition for the very ampleness of such a complete linear system on the blowing-up of P^3 along r general points.

研究动机与目标

• 确定在 ℙ³ 沿 r 个位于光滑二次曲面上的一般点进行 blown-up 后，完整线性系统的非常 ample 的必要与充分条件。
• 刻画此类线性系统的基点自由性与非特殊性。
• 将具有不可约反 canonical 除子的有理曲面结果推广至高维 blown-up 情形。
• 为 ℙ³ 沿 r 个一般点进行 blown-up 后的非常 ample 提供充分条件，即使这些点不被限制在二次曲面上。

提出的方法

• 使用在光滑二次曲面上 r 个一般点处进行 blown-up 的曲面 X，其中 H 为平面的拉回，Eᵢ 为例外除子。
• 应用上同调消去与虚拟维数公式，分析线性系统 |dH − ∑mᵢEᵢ|。
• 利用涉及例外除子 Eᵢ 与二次曲面严格提升 Qᵣ 的限制的正合列，研究零维概形的分离性。
• 通过 r 的归纳法及在有理曲面 Qᵣ 上线性系统的结构，证明非常 ample 性。
• 依赖定理 3.1，其给出了非特殊性的判别准则：若 2d ≥ ∑_{i=1}^4 mᵢ 且 d ≥ m₁ + m₂ − 1，则系统为非特殊。
• 将 [8] 中关于具有不可约反 canonical 除子的有理曲面上系统非常 ample 的结果，应用于对 Qᵣ 的限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℙ³ 沿 r 个位于光滑二次曲面上的一般点进行 blown-up 后，完整线性系统何时为非常 ample？
• RQ2 此类线性系统在何时为基点自由或非特殊？
• RQ3 二次曲面的几何结构如何影响具有多个基点的线性系统的性质？
• RQ4 非常 ample 条件能否推广至不必然位于二次曲面上的 r 个一般点？
• RQ5 反 canonical 除子在决定线性系统维数与基点集方面起什么作用？

主要发现

• 在 ℙ³ 沿 r 个位于光滑二次曲面上的一般点进行 blown-up 后，完整线性系统 |dH − m₁E₁ − ⋯ − mᵣEᵣ| 为非常 ample 当且仅当 mᵣ > 0，d ≥ m₁ + m₂ + 1，且 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 3。
• 该系统为基点自由当且仅当 d ≥ m₁ + m₂ 且 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 2。
• 该系统为非特殊当 d ≥ m₁ + m₂ − 1 且 2d ≥ m₁ + m₂ + m₃ + m₄，前提是 4d ≥ ∑mᵢ。
• 当 r ≤ 8 时，点处于一般位置允许通过 [5,6] 中已知结果计算维数与基点集。
• 通过开性，非常 ample 条件可推广至 ℙ³ 中 r 个一般点（不必然位于二次曲面上），得到充分条件：当 r ≥ 9 时，mᵣ > 0，d ≥ m₁ + m₂ + 1，且 4d ≥ ∑mᵢ + 3。
• 在相同条件下，系统在二次曲面严格提升上的限制为非常 ample，从而实现零维概形的归纳分离。