[论文解读] A Note on Unconditional Subexponential-time Pseudo-deterministic Algorithms for BPP Search Problems

Dhiraj Holden|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文提出了首个针对所有搜索-BPP问题的无条件伪确定性算法，该算法在无穷多个输入长度下运行时间低于指数时间。通过在PSPACE硬度假设下利用伪随机生成器和标准采样技术，确保对于任意多项式时间可采样的分布，该算法在输入和随机性上均以高概率输出唯一正确的解。

ABSTRACT

We show the first unconditional pseudo-determinism result for all of search-BPP. Specifically, we show that every BPP search problem can be computed pseudo-deterministically on average for infinitely many input lengths. In other words, for infinitely many input lengths and for any polynomial-time samplable distribution our algorithm succeeds in producing a unique answer (if one exists) with high probability over the distribution and the coins tossed.

研究动机与目标

• 建立所有搜索-BPP问题在亚指数时间内存在伪确定性算法的理论依据。
• 在所有多项式时间可采样的分布上实现输出的平均情况唯一性。
• 解决一个开放问题：伪确定性是否可无条件地应用于一般BPP搜索问题。
• 将先前针对特定问题的伪确定性算法结果推广至完整的搜索-BPP类。
• 探索伪随机性、电路下界与平均情况计算之间的联系。

提出的方法

• 证明通过分析PSPACE是否包含于亚指数时间BPP的情况展开。
• 在PSPACE ⊆ BPTIME(e_{1/2+ε}(n))的情况下，推导出BPE的亚指数大小电路下界，从而通过填充和已知结果实现伪确定性算法。
• 在PSPACE ⊈ BPTIME(e_{1/2+ε}(n))的情况下，构造一个扩展长度为e_{1/2+ε}(n)的伪随机生成器（PRG），该PRG无法被任何统一算法在时间e_{1/2+ε}(n)内与均匀分布区分。
• 该算法使用PRG生成随机性，并遍历其输出，运行原始的BPP搜索算法，并通过BPP验证器验证解。
• 该算法输出首次找到的有效解，其唯一性由PRG与均匀分布的不可区分性保证，从而确保输出的一致性高概率成立。
• 该构造依赖于分数指数函数e_α(n)来表达亚指数时间界，并使用了先前工作中提出的标准采样技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个搜索-BPP问题都能在无穷多个输入长度下，以亚指数时间运行伪确定性算法？
• RQ2 是否可能在不依赖计算假设的前提下，实现对所有多项式时间可采样分布的输出平均情况唯一性？
• RQ3 一般搜索-BPP问题的伪确定性算法的存在是否能推出新的电路下界？
• RQ4 该结果能否扩展至所有输入长度，而不仅限于无穷多个？
• RQ5 能否使用当前的伪随机性技术构造出搜索-BPP问题的最坏情况伪确定性算法？

主要发现

• 对于无穷多个输入长度和每个多项式时间可采样的分布，所有搜索-BPP中的关系都属于HeurPsdTIME(e_{1/2+ε}(n), 1/poly(n))。
• 该算法通过使用一个在PSPACE不包含于亚指数时间BPP的假设下与均匀分布不可区分的伪随机生成器，实现了伪确定性。
• 当PSPACE ⊆ BPTIME(e_{1/2+ε}(n))时，推导出BPE的亚指数大小电路下界，从而可通过已知技术实现伪确定性计算。
• 该算法在输入分布和随机性上以至少1 - 1/poly(n)的概率输出唯一正确的解，确保高度一致性。
• 该证明依赖于在相同假设下存在一个扩展长度为e_{1/2+ε}(n)的伪随机生成器，其在时间e_{1/2+ε}(n)内无法被任何算法与均匀分布区分。
• 该结果是无条件的，因为它不依赖于未被证明的复杂度假设，仅依赖于标准的层级坍塌或硬度假设。