[论文解读] A Note on Value Sets of Polynomials over Finite Fields

Leyla Işık, Alev Topuzoğlu|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2017

Coding theory and cryptography被引用 1

一句话总结

本文引入了一类新的多项式 Fq,n，通过在有限域 Fq（q ≥ 5，奇素数幂）上对线性置换在 n 个点处进行修改而形成。该文提出了一种基于递归定义的有理函数的构造方法，用于刻画具有预设值集的多项式，包括避开 F∗q 子群或陪集的多项式。主要贡献在于对大小为 2、3、4、q−n 和 q−n+1 的值集进行了完整描述，给出了显式的值集计数和最大计数，从而能够构造出值分布均匀的多项式——将先前在特征 2 下的结果扩展到了奇特征。

ABSTRACT

Most results on the value sets $V_f$ of polynomials $f \in \mathbb{F}_q[x]$ relate the cardinality $|V_f|$ to the degree of $f$. In particular, the structure of the spectrum of the class of polynomials of a fixed degree $d$ is rather well known. We consider a class $\mathcal{F}_{q,n}$ of polynomials, which we obtain by modifying linear permutations at $n$ points. The study of the spectrum of $\mathcal{F}_{q,n}$ enables us to obtain a simple description of polynomials $F \in \mathcal{F}_{q,n}$ with prescribed $V_F$, especially those avoiding a given set, like cosets of subgroups of the multiplicative group $\mathbb{F}_q^*$. The value set count for such $F$ can also be determined. This yields polynomials with evenly distributed values, which have small maximum count.

研究动机与目标

• 研究通过在有限域 Fq 上对线性置换在 n 个点处进行修改而形成的多项式新类 Fq,n 的谱。
• 为 Fq,n 中具有特定值集的多项式提供构造性表征，包括小集合（例如大小为 2、3、4）和大集合（例如大小为 q−n、q−n+1）。
• 确定此类多项式的值集计数和最大计数，从而实现具有均匀值分布的多项式构造。
• 通过构造其值避开 F∗q 子群陪集的多项式，将特征 2 下关于值分布的已知结果扩展到奇特征。

提出的方法

• 将 Fq,n 定义为 F(x) = f(x) + x，其中 f ∈ Pq,n 是通过在 On 中的 n 个不同点处修改线性多项式 g(x) = ax + b 而得到的 Fq 上的置换。
• 使用递归有理函数表示 f(δ) = (...((c₀δ)^{q−2} + c₁)^{q−2} ... + cₙ)^{q−2} 来建模所有 δ ∈ Fq 的 f(δ)。
• 利用递推关系 αₖ = cₖ₋₁αₖ₋₁ + αₖ₋₂ 和 βₖ = cₖ₋₁βₖ₋₁ + βₖ₋₂（其中 α₀=0，α₁=c₀，β₀=1，β₁=0）将系数与极点结构关联，确保 αₙ₊₁ = 0。
• 将集合 On 表示为 {xᵢ = −βᵢ/αᵢ : 1 ≤ i ≤ n}，从而实现对修改点的显式构造。
• 采用逆过程：给定一个满足 αₙ₊₁=0 且对所有 1≤i≤n 有 αᵢ≠0 的有理函数 Pₙ(c₀,…,cₙ;x)，可唯一恢复出 g(x) 和 f(x)。
• 将此框架应用于构造具有所需值集的多项式，例如通过基于群阶和单位根选择参数，使值避开 F∗q 的子群 U 的陪集。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在奇特征的 Fq 上，通过系统化方法构造出具有预设大小值集（如 |VF| = 2, 3, 4, q−n 或 q−n+1）的多项式？
• RQ2 如何显式描述 F ∈ Fq,n 的值集 VF，特别是当 VF 避免 F∗q 的子群陪集时？
• RQ3 此类多项式的值集计数和最大计数是多少？我们能否实现均匀分布（例如最大计数 ≤2）？
• RQ4 我们能否利用此构造将特征 2 下关于值分布的已知结果（如 Cusick 的工作）推广到奇特征？

主要发现

• 当 q = pr 且 p > n(n+1) 时，多项式 F(x) 满足 a = −1，b = n(n−1)/2，且 On = {0, 1, 2, ..., n−1}，则 |VF| = n+1，值集计数为 (v₀ = q−n−1, v₁ = n, v_{q−n} = 1)。
• 当 q ≡ 1 mod n 且 ord(−a) = n 时，多项式 F(x) 满足 On = {b∑_{j=0}^{n−i} (−1/a)^j : 1 ≤ i ≤ n}，则 |VF| = q−n，值集计数为 (v₀ = n, v₁ = q−n−1, v_{n+1} = 1)，且所有非零值恰好出现一次。
• 当 q ≡ 1 mod 2n 且 ord(a) = 2n 时，该构造得到 |VF| ≥ q−n 且最大计数至多为 2，从而确保值的均匀分布。
• 当 a = −1 且 b ≠ 0 时，取 On = {(1−i)b : 1 ≤ i ≤ n−1}，xn = b，则值集为 VF = {0, b, nb}，重数为 m(0) = n−1，m(b) = q−n，m(nb) = 1。
• 对于任意满足 |U| = n 的子群 U ≤ F∗q，令 a = −1/α 且 b = −ac（其中 α 生成 U），则得到 F ∈ Fq,n，满足 VF = Fq \ cU，即所有 cU 中的值均被避开。
• 该构造将 Cusick 在特征 2 下关于值均匀分布的结果推广到奇特征，Fq,n 中的多项式可实现非零值的最大计数为 2 或 1。