[论文解读] A Novel Approach to Finding Near-Cliques: The Triangle-Densest Subgraph Problem

Charalampos E. Tsourakakis|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 78被引用 18

一句话总结

本文提出了三角形最密子图（TDS）问题，这是一种新颖的多项式时间方法，通过最大化平均三角形密度来在大规模图中寻找近团。与标准最密子图（DS）问题不同，后者倾向于选择高程度但团密度低的子图，TDS通过精确算法和近似算法（包括1/3近似算法及MapReduce实现）有效识别出近团，尤其在DS问题失效的情况下表现优异。

ABSTRACT

Many graph mining applications rely on detecting subgraphs which are near-cliques. There exists a dichotomy between the results in the existing work related to this problem: on the one hand the densest subgraph problem (DSP) which maximizes the average degree over all subgraphs is solvable in polynomial time but for many networks fails to find subgraphs which are near-cliques. On the other hand, formulations that are geared towards finding near-cliques are NP-hard and frequently inapproximable due to connections with the Maximum Clique problem. In this work, we propose a formulation which combines the best of both worlds: it is solvable in polynomial time and finds near-cliques when the DSP fails. Surprisingly, our formulation is a simple variation of the DSP. Specifically, we define the triangle densest subgraph problem (TDSP): given $G(V,E)$, find a subset of vertices $S^*$ such that $τ(S^*)=\max_{S \subseteq V} \frac{t(S)}{|S|}$, where $t(S)$ is the number of triangles induced by the set $S$. We provide various exact and approximation algorithms which the solve the TDSP efficiently. Furthermore, we show how our algorithms adapt to the more general problem of maximizing the $k$-clique average density. Finally, we provide empirical evidence that the TDSP should be used whenever the output of the DSP fails to output a near-clique.

研究动机与目标

• 解决最密子图（DS）问题在多项式时间内仍无法检测近团的局限性。
• 通过基于三角形密度的新可计算目标函数，克服基于团的公式在计算上的不可解性。
• 开发高效算法，使其在识别真实网络中的近团结构方面优于DS。
• 将方法推广至最大化平均k-团密度（k为常数），扩展至更高阶的密集子图。
• 提供TDS问题的约束变体，引入用户定义的查询集，适用于针对性的子图发现。

提出的方法

• 将三角形最密子图（TDS）问题定义为最大化诱导三角形数与顶点数之比：$ \tau(S) = \frac{t(S)}{|S|} $，其中 $ t(S) $ 表示子图 $ S $ 中的三角形数量。
• 提出三种精确算法，其中最高效的一种基于最大流计算，专为TDS问题设计，无法从现有DS求解器中泛化而来。
• 提出一种 $ \frac{1}{3} $-近似算法，运行速度优于精确方法，采用基于三角形贡献的贪心顶点添加策略。
• 设计一种与MapReduce兼容的 $ \frac{1}{3+3\epsilon} $-近似算法，仅需 $ O(\log n / \epsilon) $ 轮，利用高效的三角形计数原原子。
• 将框架推广至最大化常数 $ k $ 的平均 $ k $-团密度，将方法扩展至三角形之外。
• 集成TDS的约束版本，其中固定查询集 $ Q $，并通过添加最大化三角形密度的顶点来构建围绕 $ Q $ 的密集子图。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种多项式时间目标函数，使其在DS问题失效的情况下仍能可靠检测近团？
• RQ2 在具有社区结构的真实网络中，三角形最密子图公式与标准最密子图相比表现如何？
• RQ3 TDS问题的算法在近似质量与可扩展性方面表现如何，特别是在MapReduce等分布式环境中？
• RQ4 TDS公式能否推广至检测基于更高阶团（如 $ K_4 $）的密集子图，同时保持计算可行性？
• RQ5 约束TDS变体在识别以特定查询节点（如政治人物或研究人员）为中心的紧密子图方面效果如何？

主要发现

• 当DS问题失效时，TDS问题能成功识别出近团，例如在由一个三角形和一个大型完全二分图团组成的图中，TDS选择的是三角形。
• 在100名参议员的美国参议院投票网络中，$ \frac{1}{3} $-近似算法恢复出一个47个顶点的子图，其共和党成员占比100%，成功捕获了主导政党集群。
• 在DBLP合作者网络中，算法恢复出一个由44名意大利计算机科学家组成的子图，形成一个三角形丰富且密集的群体，且输出子图与查询集不连通。
• TDS问题在检测具有团特征的紧密社区方面始终优于DS问题，DBLP中前7个三角形最密子图的团状结构明显优于前7个DS输出结果。
• 初步结果显示，尽管将 $ k $ 从3增加到4（即 $ K_4 $-密度）带来一定增益，但DS到TDS的改进幅度显著更大，表明TDS具有独特价值。
• MapReduce实现可在 $ O(\log n / \epsilon) $ 轮内达到 $ \frac{1}{3+3\epsilon} $-近似，证明了其在大规模图上的可扩展性，且依赖高效的三角形计数技术。