[论文解读] A novel approach to generate attractors with a high number of scrolls

José Luis Echenausía-Monroy, G. Huerta-Cuéllar|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2019

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出一种新颖方法，通过在不稳定耗散系统（UDS）中使用四舍五入到最近整数函数（RNIF）作为切换律，生成最多达一千个涡卷的多涡卷吸引子。该方法基于参数 α 和 t 的控制方程建模涡卷的增长，实现高度可预测性（R² > 0.99），从而能够精确、可调地生成复杂混沌动力学，适用于安全通信和伪随机数生成等应用。

ABSTRACT

In this paper, it is presented a novel method for increasing the number of scrolls in a hybrid nonlinear switching system. Using the definition of the "Round to the Nearest Integer Function", as a generalization of a PWL function, which is capable of generating up to a thousand of scrolls. An equation that characterizes the grown in the number of scrolls is calculated, which fits to the behavior of the system measured by means of the coefficient of determination, denoted $R^{2}$, and pronounced "R squared". The proposed equation is based on obtaining as many scrolls as desired, based on the control parameters of the linear operator of the system. The work here presented provides a new approach for the generation and control of a high number of scrolls in a hybrid system. The results are verified for all the scenarios that the equations covers.

研究动机与目标

• 为解决在混合非线性系统中生成高数量多涡卷吸引子这一开放性挑战。
• 开发一种可扩展、可数值实现的方法，仅通过单一切换函数控制涡卷数量。
• 推导基于系统控制参数（α 和 t）的涡卷数量预测方程。
• 通过高统计保真度（R² > 0.99）在多种参数情景下验证模型。
• 通过可预测的高复杂度吸引子，实现安全通信、伪随机数生成和神经网络系统等实际应用。

提出的方法

• 系统采用基于不稳定耗散系统（UDS）的三维混合动力学模型，包含线性算子 A 和非线性切换函数 f(x)。
• 关键创新在于用四舍五入到最近整数函数（RNIF）替代传统分段线性（PWL）函数，将分段线性推广至更高涡卷数量。
• 涡卷数量由推导出的增长方程控制：N ≈ exp(β + ln(t)/2)，其中 β 依赖于控制参数 α。
• 通过在时间 t 内模拟轨迹，将涡卷数量与预测值进行比较，利用决定系数（R²）进行数值验证。
• 通过推导出的方程反演控制参数，以预测达到目标涡卷数所需的 α、t 或 N，实现正向与反向控制。
• 在多种情景下对系统进行仿真，以测试预测准确性，包括 36、108 和 12 个涡卷的情况，并与理论预期进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 四舍五入到最近整数函数（RNIF）能否作为广义切换律，在基于UDS的系统中生成大量涡卷？
• RQ2 控制参数 α 和 t 与吸引子中涡卷数量 N 之间的函数关系为何？
• RQ3 所推导的方程在多种参数组合下预测涡卷数量的准确性如何？
• RQ4 参数敏感性对涡卷预测的影响如何，特别是在 α 值极端时？
• RQ5 该模型是否可被可靠地反演，以确定实现目标涡卷数量所需的关键参数？

主要发现

• 所提出的基于RNIF的系统在仿真中成功生成最多108个涡卷，与预测值高度吻合，所有测试情景下 R² > 0.99。
• 当 α = 0.5 且 t = 70,000 单位时，模型预测约36个涡卷，仿真结果为27个涡卷，尽管存在轻微偏差，仍显示出强大的预测能力。
• 当目标为100个涡卷且 α = 0.35 时，模型预测 t ≈ 404,470 单位，仿真实际生成108个涡卷，证实了正向预测的高精度。
• 在反向控制中，当 t = 23,000 且目标 N = 13 时，模型预测 α ≈ 19.1335（四舍五入为19），但实际仿真中 α = 0.95 仅生成5个涡卷，而 α = 0.9 生成12个涡卷，表明在高 α 值时存在实际限制，受混沌敏感性影响。
• 所推导的涡卷增长方程 N ≈ exp(β + ln(t)/2) 展现出鲁棒性与高预测能力，已在正向与反向参数估计中得到验证。
• 该系统可实现对高复杂度吸引子的精确、可调生成，适用于安全通信和伪随机数生成等应用。