[论文解读] A Novel Finite Difference Method for Euler Equations in 2D Unstructured Meshes

Meiyuan Zhen, Kun Qu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新颖的高阶有限差分方法，用于在非结构化网格上求解二维欧拉方程，通过将边模板上的三维非均匀WENO插值与顶点处通量散度的最小二乘重构相结合。该方法在无需体积积分或人工粘性的情况下实现了高阶精度和鲁棒的激波捕捉，且在典型算例中表现出卓越的效率和精度。

ABSTRACT

Finite difference method was extended to unstructured meshes to solve Euler equations. The spatial discretization is made of two steps. First, numerical fluxes are computed at the middle point of each edge with high order accuracy. In this step, a one-dimensional curvilinear stencil is assembled for each edge to perform one-dimensional fast non-uniform WENO interpolation derived in this paper, which is much easier and faster than multi-dimensional interpolation. The second step is to compute the divergence of fluxes at each vertex from the fluxes at nearby edges and vertices by least square approximation of multi-dimensional polynomials. The order of the WENO interpolation in the first step and the degree of the polynomial in the second step determined the order of accuracy of the spatial scheme. After that, explicit RungeKutta time discrete scheme is used to update conservative variables. Several canonical numerical cases were solved to test the accuracy, performance and the capability of shock capturing of the developed method.

研究动机与目标

• 开发一种适用于非结构化网格的高阶有限差分方法，克服传统FDM依赖结构化网格的局限性。
• 在复杂几何中实现高阶精度与鲁棒的激波捕捉能力，且不依赖DG或FR等基于单元的方法。
• 通过使用一维WENO模板而非非结构化边上的多维插值，提升计算效率。
• 通过在顶点处直接利用最小二乘逼近计算通量散度，消除对控制体积和数值积分的需求。
• 通过高阶WENO插值与多项式最小二乘重构的结合，实现高阶精度，确保解的平滑性与激波的锐利分辨率。

提出的方法

• 空间离散化分为两个步骤：首先，利用一维曲线型模板和非均匀WENO插值，在边中点计算高阶数值通量。
• 沿每条边应用WENO重构，采用五点模板，通过平滑性指标导出非线性权重，以在光滑区域保持高阶精度，并在间断附近降低至三阶。
• 通过使用相邻边和顶点的通量值，对多维多项式进行最小二乘逼近，计算每个顶点处的通量散度。
• 该方法为每条边构建了一个紧凑且适应拓扑结构的模板，能够捕捉局部非等熵特性，从而提升精度与紧凑性。
• 该格式在第一步中使用五阶精度的WENO插值，在第二步中采用五次多项式重构，最终形成五阶精度的空间格式。
• 时间推进采用显式Runge-Kutta格式，以时间推进保守变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限差分方法是否能在非结构化网格上实现高阶精度，而无需依赖结构化网格或基于单元的形状函数？
• RQ2 在非结构化有限差分格式中，如何同时实现高阶精度与激波捕捉能力？
• RQ3 在一维边模板上使用WENO插值是否在效率与精度方面优于多维插值，特别是在非结构化网格上？
• RQ4 在不使用控制体积或面积分的情况下，计算顶点处通量散度的最优方法是什么？
• RQ5 与DG或FR等现有高阶方法相比，该方法在非结构化网格上的精度与性能表现如何？

主要发现

• 通过在制造解上的收敛性研究，验证了该方法在光滑区域实现了五阶精度。
• 由于WENO重构中的非线性权重在间断附近降低至三阶，该方法成功捕捉强激波，且无需人工粘性。
• 沿边使用一维WENO模板显著提升了计算效率，尤其在复杂几何中优势明显。
• 在顶点处采用最小二乘通量散度重构，即使在非结构化和非均匀网格上也能提供准确且稳定的结果。
• 典型算例（如激波-涡流相互作用、双马赫反射）的数值结果表明，该方法具有鲁棒性、高精度，并能清晰分辨复杂流动特征，如涡流与激波。