[论文解读] A Novel Fourier Theory on Non-linear Phases and Applications

Tao Qian|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Cardiovascular Health and Disease Prevention被引用 1

一句话总结

本文通过自适应傅里叶分解（AFD）将信号分解为具有正瞬时频率的单分量，提出了一种非线性相位的新傅里叶理论，实现了瞬态信号的精确时变频率表示，并将经典调和分析推广至高维、向量值及矩阵值信号，在信号处理与逼近理论中具有应用价值。

ABSTRACT

Positive time varying frequency representation for transient signals has been a hearty desire of signal analysts due to its theoretical and practical importance. During approximately the last two decades there has formulated a signal decomposition and reconstruction method rooted in harmonic and complex analysis giving rise to the desired signal representation. The method decomposes any signal into a few basic signals that possess positive instantaneous frequencies. The theory has profound relations with classical mathematics and can be generalized to signals defined in higher dimensional manifolds with vector and matrix values, and in particular, promotes rational approximation in higher dimensions. This article mainly serves as a survey. It also gives a new proof for a general convergence result, as well as a proof for the necessity of multiple selection of the parameters. Mono-components are crucial to understand the concept instantaneous frequency. We will present several most important mono-component function classes. Decompositions of signals into mono-components are called adaptive Fourier decompositions (AFDs). We note that some scopes of the studies on the 1D mono-components and AFDs can be extended to vector-valued or even matrix-valued signals defined on higher dimensional manifolds. We finally provide an account of related studies in pure and applied mathematics, and in signal analysis, as well as applications of the theory found in the literature.

研究动机与目标

• 开发一种适用于具有非线性相位的信号（尤其是具有时变频率的瞬态信号）的新傅里叶理论框架。
• 建立利用自适应傅里叶分解（AFD）将信号分解为具有正瞬时频率的单分量的严格数学基础。
• 将经典调和分析与复分析推广至高维流形，包括向量值与矩阵值信号。
• 为AFD的收敛性提供新证明，并阐明分解过程中参数选择的必要性。
• 综述并连接纯数学、应用数学、信号分析及实际应用中的相关进展。

提出的方法

• 该方法采用自适应傅里叶分解（AFD）将任意信号分解为有限个单分量，每个单分量均具有正瞬时频率。
• 利用调和分析与复分析的工具，确保分解过程的收敛性与稳定性。
• 将该理论推广至定义在高维流形上的信号，包括向量值与矩阵值信号。
• 为AFD的一般收敛结果提供了新证明，强化了该方法的理论基础。
• 严格证明了AFD中多重参数选择的必要性，确保分解的鲁棒性与精确性。
• 通过利用单分量的结构，实现了高维空间中的有理逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过广义傅里叶理论，以具有正瞬时频率的方式表示具有非线性相位和时变频率的信号？
• RQ2 自适应傅里叶分解（AFD）在将信号分解为单分量时，其收敛性的数学基础是什么？
• RQ3 单分量理论与AFD如何推广至高维流形上的向量值与矩阵值信号？
• RQ4 AFD中参数选择的作用是什么？为何需要多重选择以实现精确分解？
• RQ5 该理论与纯数学、信号分析及实际应用中现有成果之间存在何种联系？

主要发现

• 所提出的理论成功地将任意信号分解为有限个单分量，每个单分量均具有正瞬时频率，从而实现了精确的时变频率表示。
• 为自适应傅里叶分解（AFD）的一般收敛性建立了新证明，进一步强化了其理论有效性。
• 严格证明了AFD中多重参数选择的必要性，确保了该方法的鲁棒性与精确性。
• 该框架将经典傅里叶理论推广至高维流形，包括向量值与矩阵值信号，为多维信号处理开辟了新应用。
• 该理论与高维有理逼近建立了深刻联系，为逼近理论提供了新路径。
• 综述部分识别并整合了纯数学、应用数学、信号分析及实际实现中的关键进展，凸显了该理论的广泛适用性。