[论文解读] A Novel Genetic Search Scheme Based on Nature -- Inspired Evolutionary Algorithms for Self-Dual Codes

Adrian Korban, Serap Şahinkaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于遗传算法（GA）的新颖搜索方案，用于发现极值二元自偶码，利用有限域 𝔽₂ 上已知的矩阵构造方法。该GA显著优于线性搜索，仅用极短时间便发现了11个新的极值 [72,36,12] 码和17个新的 [72,36,12] 码，其中部分码具有此前未知或罕见的权 enumerator 参数。

ABSTRACT

In this paper, a genetic algorithm, one of the evolutionary algorithms optimization methods, is used for the first time for the problem of finding extremal binary self-dual codes. We present a comparison of the computational times between a genetic algorithm and a linear search for different size search spaces and show that the genetic algorithm is capable of finding binary self-dual codes significantly faster than the linear search. Moreover, by employing a known matrix construction together with the genetic algorithm, we are able to obtain new binary self-dual codes of lengths 68 and 72 in a significantly short time. In particular, we obtain 11 new extremal binary self-dual codes of length 68 and 17 new binary self-dual codes of length 72.

研究动机与目标

• 解决在大搜索空间中对极值二元自偶码进行穷举线性搜索时计算上不可行的问题。
• 探索受自然启发的进化算法（特别是遗传算法）在优化自偶码搜索中的有效性。
• 通过结合矩阵构造与遗传搜索的混合方法，发现长度为68和72的新极值二元自偶码。
• 证明遗传算法在由形如 [I|A] 的生成矩阵定义的高维搜索空间中，可实现比线性搜索更快的收敛速度。
• 发现具有罕见或此前未知权 enumerator 参数的新自偶码。

提出的方法

• 采用具有选择、交叉和变异算子的遗传算法（GA），以探索形如 [I|A] 的生成矩阵的搜索空间，用于二元自偶码。
• 将适应度函数定义为最小距离的倒数（1/d_i），以优先选择最小距离更高的解。
• 使用文献[14]中的矩阵构造方法，将 D_18 和 D_36 上的群环元素映射为循环矩阵和反循环矩阵，以缩小搜索空间。
• 将每个染色体表示为 [I|A] 中矩阵 A 的第一行，其元素属于 𝔽₂，从而完全定义生成矩阵。
• 在每代中应用均匀交叉和固定概率的变异，以生成新的候选解。
• 在达到预设代数或找到最小距离为12的码时终止算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 与线性搜索相比，遗传算法是否能显著减少发现极值二元自偶码所需的计算时间？
• RQ2 结合文献[14]中的矩阵构造与遗传算法，是否能发现具有此前未知权 enumerator 参数的新自偶码？
• RQ3 遗传算法在长度为68和72的自偶码搜索空间增大时，性能如何扩展？
• RQ4 遗传算法是否能直接在 𝔽₂ 上发现极值码，而无需依赖扩展或邻近方法？
• RQ5 不同的群环结构（如 D_18 与 D_36）对遗传搜索的效率和结果有何影响？

主要发现

• 遗传算法在极短计算时间内发现了11个长度为68、最小距离为12的新极值二元自偶码。
• 遗传算法发现了17个长度为72、最小距离为12的新二元自偶码，其中包含一个在 W_{72,1} 中具有此前未知权 enumerator 参数 γ = 54 的码。
• 遗传算法的计算时间显著低于线性搜索，尤其在较大搜索空间中表现更优，线性搜索在长度为72的码上运行7天后仍被中止。
• 遗传算法成功地直接在 𝔽₂ 上找到了码，而无需使用扩展或邻近方法，凸显其高效性与直接适用性。
• 新发现的多个码具有阶为72或144的自构群，表明其具有非平凡的对称结构。
• 基于最小距离倒数的适应度函数有效引导了搜索，使算法在远短于线性搜索所需时间的范围内收敛至最小距离为12的码。