[论文解读] A Novel Method to Generate Key-Dependent S-Boxes with Identical Algebraic Properties

Ahmad Y. Al‐Dweik, Iqtadar Hussain+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文提出一种新颖的算法，通过在S盒的布尔函数中应用对称群作用（Sₙ 和 S₂ⁿ）来置换行和列，生成依赖密钥的动态S盒，同时保持相同的代数特性——双射性、非线性度、严格雪崩准则（SAC）和比特独立性准则（BIC）。该方法确保所有生成的克隆S盒均保持与原始S盒相同的密码学强度，实现安全、动态的S盒生成，且不损害性能指标。

ABSTRACT

The s-box plays the vital role of creating confusion between the ciphertext and secret key in any cryptosystem, and is the only nonlinear component in many block ciphers. Dynamic s-boxes, as compared to static, improve entropy of the system, hence leading to better resistance against linear and differential attacks. It was shown in [2] that while incorporating dynamic s-boxes in cryptosystems is sufficiently secure, they do not keep non-linearity invariant. This work provides an algorithmic scheme to generate key-dependent dynamic $n imes n$ clone s-boxes having the same algebraic properties namely bijection, nonlinearity, the strict avalanche criterion (SAC), the output bits independence criterion (BIC) as of the initial seed s-box. The method is based on group action of symmetric group $S_n$ and a subgroup $S_{2^n}$ respectively on columns and rows of Boolean functions ($GF(2^n) o GF(2)$) of s-box. Invariance of the bijection, nonlinearity, SAC, and BIC for the generated clone copies is proved. As illustration, examples are provided for $n=8$ and $n=4$ along with comparison of the algebraic properties of the clone and initial seed s-box. The proposed method is an extension of [3,4,5,6] which involved group action of $S_8$ only on columns of Boolean functions ($GF(2^8) o GF(2)$ ) of s-box. For $n=4$, we have used an initial $4 imes 4$ s-box constructed by Carlisle Adams and Stafford Tavares [7] to generated $(4!)^2$ clone copies. For $n=8$, it can be seen [3,4,5,6] that the number of clone copies that can be constructed by permuting the columns is $8!$. For each column permutation, the proposed method enables to generate $8!$ clone copies by permuting the rows.

研究动机与目标

• 解决现有密钥依赖S盒生成方法中缺乏代数性质不变性的问题。
• 开发一种系统化算法，确保在动态生成的S盒克隆中保持关键密码学特性，如非线性度、SAC和BIC。
• 实现从单一强初始S盒（如AES S盒）生成多个安全、密钥依赖的S盒变体。
• 将先前仅限于列置换的工作扩展为通过群作用引入行置换。
• 提供一种可证明安全且高效的S盒克隆生成方法，确保所有克隆具有相同的密码学特性。

提出的方法

• 该方法使用对称群Sₙ作用于S盒布尔函数表示（GF(2ⁿ) → GF(2)）的列，以及S₂ⁿ作用于行。
• 从密钥派生的置换σ₁和σ₂被应用于重新组织S盒的二进制矩阵表示的列和行。
• 该变换包括将S盒转换为二进制矩阵，应用置换矩阵P₁和P₂分别作用于列和行，并通过矩阵乘法重构新的S盒。
• 该算法在Maple中实现，包含置换矩阵生成、二进制矩阵转换和S盒重构的程序。
• 通过形式化证明，利用群作用对称性，确保双射性、非线性度、SAC和BIC的不变性。
• 该方法通过AES S盒（n=8）和4×4 S盒（n=4）进行验证，分别生成(4!)² = 576和8!×8!个克隆副本。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持原始S盒非线性度、SAC和BIC的前提下生成密钥依赖的S盒？
• RQ2 是否可以通过行和列上的群作用，保持双射性和多个S盒克隆的密码学强度？
• RQ3 如何结合行和列置换，以生成大量密码学等价的S盒变体？
• RQ4 所提出的方法是否优于仅限于列置换的先前方法？
• RQ5 能否使用单一强S盒（如AES）生成大量具有相同特性的安全、动态S盒？

主要发现

• 所有生成的克隆S盒均保持原始S盒的非线性度：AES S盒（n=8）为112，4×4 S盒也为112。
• 严格雪崩准则（SAC）的平均值保持在0.504883，最大值为0.5625，最小值为0.453125，与原始S盒一致。
• 非线性度和SAC的比特独立性准则（BIC）显示，原始S盒与克隆S盒的均值（0.504604）和标准差（0.011271）完全相同。
• 对于n=8，该方法可从单一AES S盒生成8! × 8! = 1.6×10¹⁰个不同的S盒克隆，所有克隆均具有相同的代数特性。
• 对于n=4，该方法生成(4!)² = 576个克隆S盒，具有相同的密码学特性，证明了其可扩展性。
• 理论证明确认，双射性、非线性度、SAC和BIC在所提出的基于群作用的变换下保持不变。