[论文解读] A Novel Partitioned Approach for Reduced Order Model -- Finite Element Model (ROM-FEM) and ROM-ROM Coupling

Amy de Castro, Paul Kuberry+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出一种新颖的显式分区格式，通过使用舒尔补（Schur complement）消除界面通量，将降阶模型（ROMs）与有限元模型（FEMs）或其他ROMs通过单体公式进行耦合。该方法实现了一步完成、非迭代的耦合，具有高精度和计算效率，数值结果表明，ROM-FEM与ROM-ROM解在不同基底尺寸和佩克莱特数（Péclet numbers）下均与全局FEM解高度一致。

ABSTRACT

Partitioned methods allow one to build a simulation capability for coupled problems by reusing existing single-component codes. In so doing, partitioned methods can shorten code development and validation times for multiphysics and multiscale applications. In this work, we consider a scenario in which one or more of the "codes" being coupled are projection-based reduced order models (ROMs), introduced to lower the computational cost associated with a particular component. We simulate this scenario by considering a model interface problem that is discretized independently on two non-overlapping subdomains. We then formulate a partitioned scheme for this problem that allows the coupling between a ROM "code" for one of the subdomains with a finite element model (FEM) or ROM "code" for the other subdomain. The ROM "codes" are constructed by performing proper orthogonal decomposition (POD) on a snapshot ensemble to obtain a low-dimensional reduced order basis, followed by a Galerkin projection onto this basis. The ROM and/or FEM "codes" on each subdomain are then coupled using a Lagrange multiplier representing the interface flux. To partition the resulting monolithic problem, we first eliminate the flux through a dual Schur complement. Application of an explicit time integration scheme to the transformed monolithic problem decouples the subdomain equations, allowing their independent solution for the next time step. We show numerical results that demonstrate the proposed method's efficacy in achieving both ROM-FEM and ROM-ROM coupling.

研究动机与目标

• 为解决高保真FEM在多物理场模拟中计算成本过高的瓶颈问题，通过用降阶模型（ROMs）替代FEM。
• 开发一种分区耦合框架，实现ROMs与FEMs或其他ROMs在非重叠子域中的无缝集成。
• 实现一种单体、非迭代方法，通过显式时间积分解耦子域求解，同时保持界面处的精度与守恒性。
• 在对流-扩散与纯对流问题上验证该方法，涵盖不同佩克莱特数（Péclet numbers）和基底尺寸。
• 证明ROM-FEM与ROM-ROM耦合可实现与全局FEM相当的精度，同时显著降低计算成本。

提出的方法

• 在两个具有独立空间离散化的非重叠子域上构建单体传输问题。
• 通过快照集合的本征正交分解（POD）构建ROMs，随后将伽辽金投影应用于降阶基底。
• 引入拉格朗日乘子表示界面通量，并通过对偶舒尔补（dual Schur complement）消除该通量，实现系统解耦。
• 对变换后的单体系统应用显式时间积分格式，使得每个时间步可独立求解子域问题。
• 利用舒尔补将界面通量近似为每个子域的诺伊曼边界条件，从而支持分区求解策略。
• 通过将每个子域视为ROM或FEM代码，实现ROM-FEM与ROM-ROM耦合，同时强制保持通量连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种单体、非迭代的分区格式能否在保持精度与稳定性的同时，有效耦合ROMs与FEMs或其他ROMs？
• RQ2 在不同基底尺寸和佩克莱特数（Péclet numbers）下，ROM-FEM与ROM-ROM耦合的精度与全局FEM解相比如何？
• RQ3 基于舒尔补的通量消除在多大程度上能保持界面连续性并避免虚假伪影？
• RQ4 当用ROMs替换一个或两个子域中的FEMs时，该显式分区格式是否仍能保持计算效率的提升？
• RQ5 所提出的方法能否扩展至测试之外的非线性与多物理场问题？

主要发现

• 在高佩克莱特数与纯对流问题中，ROM-FEM与ROM-ROM解在最终时间步与全局FEM解在视觉上无法区分。
• 两个子域的界面解匹配极佳，证实该耦合方法未引入任何虚假伪影或不连续性。
• 全局解的相对误差随POD基底尺寸增加而减小，且在某些中间基底尺寸下，全局ROM解的精度甚至超过全局FEM解。
• 随着基底尺寸的细化，ROM-FEM与ROM-ROM解渐近收敛于全局FEM解，验证了该方法的一致性。
• 通过用ROMs替代高保真FEMs，该方法实现了显著的计算节省，同时保持了高解的保真度。
• 该方法在不同佩克莱特数下表现稳健，并在统一的非迭代框架中支持ROM-FEM与ROM-ROM耦合。