[论文解读] A novel public key cryptography based on generalized Lucas matrices

Kalika Prasad, Hrishikesh Mahato+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2022

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于广义卢卡斯矩阵（GLMs）的新型公钥密码体制，利用高阶递推序列与有限域上的矩阵代数。通过仅使用两个参数（λ, s）进行密钥交换与矩阵构造，该方案降低了密钥传输开销，同时实现了超过10^3920的密钥空间（当p=37且λ=50时），通过离散对数问题增强安全性，并利用仿射-Hill密码框架与ElGamal风格密钥协商实现高效且安全的加密。

ABSTRACT

In this article, we have proposed a generalized Lucas matrix (recursive matrix of higher order) having relation with generalized Fibonacci sequences and established many special properties in addition to that usual matrix algebra. Further, we have proposed a modified public key cryptography using these matrices as keys in Affine cipher and key agreement for encryption-decryption with the combination of terms of generalized Lucas sequences under residue operations. In this scheme, instead of exchanging the whole key matrix, only a pair of numbers(parameters) need to be exchanged, which reduces the time complexity as well as space complexity of the key transmission and has a large key-space.

研究动机与目标

• 开发一种基于广义卢卡斯矩阵的新公钥密码系统，以扩大密钥空间并减少传输开销。
• 建立一种源自广义卢卡斯序列的递归矩阵结构，确保其可逆性与特殊代数性质。
• 将这些矩阵整合进仿射-Hill密码框架中，结合ElGamal风格密钥交换，实现安全加密与解密。
• 证明该方案在计算上对蛮力攻击具有安全性，原因在于矩阵构造中离散对数问题的困难性。
• 表明仅需交换两个参数（λ, s），显著降低密钥分发的时间与空间复杂度。

提出的方法

• 作者通过广义斐波那契矩阵（GFM）的迹定义广义卢卡斯序列（GLS），建立阶数为λ的递归矩阵结构。
• 他们构造广义卢卡斯矩阵（GLM），其元素为GLS项的线性组合，确保对所有λ ≥ 2均保持可逆性。
• 密钥矩阵K*定义为L_λ^(-s) H^(-1)，其中H为变换矩阵，L_λ^(s)为广义卢卡斯矩阵，从而实现矩阵求逆与密钥推导。
• 该方案采用带偏移向量B的仿射-Hill密码，其中加密定义为C = (P - B)K mod p，解密定义为P = (C - B)K* mod p。
• 公钥由矩阵K与偏移向量B组成，私钥则由λ与s推导得出，安全性依赖于离散对数问题。
• 系统在有限域F_p上实现，示例中采用p=37，密钥空间通过|GL_λ(F_p)|的公式计算得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从高阶递推序列构造广义卢卡斯矩阵，同时保持可逆性与代数结构？
• RQ2 广义卢卡斯矩阵如何用于减少公钥密码体制中的密钥传输开销？
• RQ3 基于有限域上广义卢卡斯矩阵的密码系统的密钥空间大小与强度如何？
• RQ4 离散对数问题在该基于矩阵的密码系统中在多大程度上增强了安全性？
• RQ5 仿射-Hill密码能否与广义卢卡斯矩阵及ElGamal风格密钥交换有效结合，以构建一个安全且高效的公钥系统？

主要发现

• 所提出的广义卢卡斯矩阵L_λ^(s)对所有λ ≥ 2均保持可逆，确保密钥推导与解密的可行性。
• 在F_37上，当λ=50时，GLM的密钥空间大小约为3.105 × 10^3920，使得蛮力攻击在计算上不可行。
• 仅需交换两个参数（λ, s），相比传输完整矩阵，显著降低了时间和空间复杂度。
• 即使签名参数s被泄露，系统仍保持安全，因安全性完全依赖于λ与离散对数问题。
• 解密矩阵K* = L_λ^(-s) H^(-1) 满足L_λ^s K* = K* L_λ^s = I_λ，确保解密过程正确且一致。
• 实现示例成功从密文恢复出明文'NOBLE2022'，使用推导出的密钥矩阵与偏移向量，验证了该方案的正确性。