[论文解读] A Novel Sixth Order Energy-Conserved Method for Three-Dimensional Time-Domain Maxwell's Equations

Chaolong Jiang, Wenjun Cai+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于三维时域麦克斯韦方程组的新型六阶能量守恒数值格式，结合谱空间离散化与高阶平均向量场法进行时间推进。该方法保持了五条能量守恒律、三条动量守恒律、辛结构以及两个散度为零的约束，实现了无条件稳定性和最优误差界，常数仅随时间线性增长O(T)，并通过数值色散分析和基于快速傅里叶变换（FFT）的快速求解器得到验证。

ABSTRACT

In this paper, a novel sixth order energy-conserved method is proposed for solving the three-dimensional time-domain Maxwell's equations. The new scheme preserves five discrete energy conservation laws, three momentum conservation laws, symplectic conservation law as well as two divergence-free properties and is proved to be unconditionally stable, non-dissipative. An optimal error estimate is established based on the energy method, which shows that the proposed method is of sixth order accuracy in time and spectral accuracy in space in discrete $L^{2}$-norm. The constant in the error estimate is proved to be only $O(T)$. Furthermore, the numerical dispersion relation is analyzed in detail and a fast solver is presented to solve the resulting discrete linear equations efficiently. Numerical results are addressed to verify our theoretical analysis.

研究动机与目标

• 开发一种用于三维时域麦克斯韦方程组的高阶数值格式，能够在长时间模拟中保持关键物理不变量。
• 克服现有二阶或四阶格式的局限性，这些格式通常缺乏高时间精度或无法保持散度为零的约束。
• 建立最优误差估计，其中常数仅随时间T线性增长（O(T)），确保长时间积分下的鲁棒收敛性。
• 分析数值色散关系，并与标准伪谱方法相比，展示相速度和群速度更高的精度。
• 设计一种高效的快速求解器，利用FFT求解生成的线性系统，同时不损失精度或稳定性。

提出的方法

• 该方法采用傅里叶配点进行谱空间离散化，实现空间上的谱精度。
• 通过改进的平均向量场法（AVM）实现六阶时间积分，确保能量与辛结构的守恒。
• 该格式被构造为保持五条离散能量守恒律、三条动量守恒律，以及电场和磁场的两个散度为零约束。
• 每个时间步长生成的线性系统通过矩阵分解求解，可利用快速傅里叶变换（FFT）算法实现高效求逆。
• 该方法经冯·诺依曼稳定性分析与数值色散分析确认为无条件稳定且无耗散。
• 离散系统在傅里叶空间中构建，演化算子以矩阵指数近似表示，确保高阶精度与守恒性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为三维麦克斯韦方程组构造一种六阶时间积分格式，以保持多种物理不变量？
• RQ2 此类格式的最优误差界为何？误差界中的常数如何随时间T变化？
• RQ3 与标准傅里叶伪谱方法相比，所提格式的数值色散关系在相速度与群速度误差方面表现如何？
• RQ4 生成的线性系统能否在不增加高计算成本的前提下高效求解，特别是针对大规模问题？
• RQ5 该格式在长时间模拟中是否保持电磁场的散度为零特性？这对数值稳定性有何影响？

主要发现

• 所提格式在时间上达到六阶精度，空间上具有谱精度，离散$L^2$-范数下的误差估计常数仅随$O(T)$线性增长。
• 该方法无条件稳定且无耗散，经数值色散分析与能量守恒验证确认。
• 该格式保持五条能量守恒律、三条动量守恒律、辛结构，以及电场和磁场的两个离散散度为零约束。
• 数值色散分析表明，傅里叶伪谱方法中出现的虚假解分支仅在大波数时出现，且网格各向异性与方向无关。
• 开发了一种基于FFT的快速求解器，可在每个时间步高效求解线性系统，计算复杂度为$O(N_x N_y N_z /\log(N_x N_y N_z))$。
• 数值结果验证了理论误差估计，并表明与低阶格式相比，该格式在长时间模拟中具有更优的稳定性和精度。