[论文解读] A Novel Three-Level Time-Split MacCormack Method for Solving Two-Dimensional Viscous Coupled Burgers Equations

Eric Ngondiep|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的三层显式时间分裂MacCormack方法，用于求解二维粘性耦合Burgers方程。通过将二维问题分解为顺序的一维操作，该方法在低雷诺数下实现了时间方向二阶精度和空间方向四阶收敛率，在高雷诺数下实现了时间与空间均为二阶收敛率，相较于现有方法展现出更高的效率和稳定性。

ABSTRACT

In this paper, we analyze the three-level explicit time-split MacCormack procedure in the numerical solutions of two-dimensional viscous coupled Burgers' equations subject to initial and boundary conditions. The differential operators split the two-dimensional problem into two pieces so that the two-step explicit MacCormack scheme can be easily applied to each subproblem. This reduces the computational cost of the algorithm. For low Reynolds numbers, the proposed method is second order accurate in time and fourth convergent in space, while it is second order convergent in both time and space for high Reynolds numbers problems. This shows the efficiency and effectiveness of the considered method compared to a large set of numerical schemes widely studied in the literature for solving the two-dimensional time dependent nonlinear coupled Burgers' equations. Numerical examples which confirm the theoretical results are presented and discussed.

研究动机与目标

• 开发一种更高效且稳定的数值格式，用于求解带有粘性项的二维非定常非线性耦合Burgers方程。
• 通过时间分裂技术将二维问题分解为顺序的一维操作，以降低计算成本。
• 在低雷诺数流动中实现更高的空间精度（四阶），同时在高雷诺数情况下保持二阶精度。
• 在特定时间步长限制下，分析所提方法的稳定性和收敛性特性。
• 通过广泛的数值实验与现有方法对比，验证该方法的性能表现。

提出的方法

• 该方法采用三层显式时间分裂策略，将二维Burgers方程分解为沿x方向和y方向的两个顺序一维子问题。
• 每个子问题通过两步显式MacCormack预测-校正格式求解，其中一阶导数采用迎风偏置的有限差分格式。
• 时间分裂策略通过顺序处理空间方向而非同时处理，使显式格式获得更好的稳定性。
• 在预测阶段使用前向差分，校正阶段使用后向差分，以增强对间断处的分辨率。
• 推导出时间步长限制条件以确保稳定性，尤其对高雷诺数流动至关重要。
• 采用交错网格实现该格式，对初值和边界条件进行一致处理，以保持计算精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间分裂MacCormack方法能否在低雷诺数二维粘性耦合Burgers方程中实现更高的空间精度（四阶）？
• RQ2 所提方法在高雷诺数问题中的时间与空间收敛率如何？
• RQ3 与标准二维MacCormack格式相比，时间分裂策略如何影响稳定性和计算效率？
• RQ4 在高雷诺数流动中，该方法在何种时间步长限制下保持稳定？
• RQ5 在高雷诺数区域中，当需要解析薄粘性层时，该方法能否保持精度和鲁棒性？

主要发现

• 在低雷诺数下，该方法在时间方向实现二阶收敛，在空间方向实现四阶收敛，证实了其高空间精度。
• 在高雷诺数下，该方法在时间与空间方向均表现出二阶收敛率，且在推导的时间步长限制下保持稳定。
• 数值实验表明，该方法在求解二维耦合Burgers方程方面比大量现有方法更具效率和鲁棒性。
• 当时间步长超过推导的稳定性条件时，该方法变得不稳定且无法收敛，尤其在细网格下更为明显。
• 该格式在粗网格区域表现良好，但在细网格粘性层中由于严格的时间步长约束而变得计算成本高昂。
• 对于具有极薄粘性层的高雷诺数流动，该方法效率较低，需进行网格加密和采用小时间步长。