[论文解读] A null space analysis of the L1 synthesis method in dictionary-based compressed sensing

Xuemei Chen, Haichao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文引入了基于字典的零空间性质（D-NSP），作为在字典基压缩感知中通过ℓ₁-合成方法实现精确恢复的充分必要条件。证明了全火花字典若相干性较高，则无法保证任何测量矩阵的稳定恢复，且建立了D-NSP在实值设定下可确保噪声下的稳定性。

ABSTRACT

An interesting topic in compressed sensing aims to recover signals with sparse representations in a dictionary. Recently the performance of the L1-analysis method has been a focus, while some fundamental problems for the L1-synthesis method are still unsolved. For example, what are the conditions for it to stably recover compressible signals under noise? Whether coherent dictionaries allow the existence of sensing matrices that guarantee good performances of the L1-synthesis method? To answer these questions, we build up a framework for the L1-synthesis method. In particular, we propose a dictionary-based null space property DNSP which, to the best of our knowledge, is the first sufficient and necessary condition for the success of L1-synthesis without measurement noise. With this new property, we show that when the dictionary D is full spark, it cannot be too coherent otherwise the method fails for all sensing matrices. We also prove that in the real case, DNSP is equivalent to the stability of L1-synthesis under noise.

研究动机与目标

• 为解决字典基压缩感知中ℓ₁-合成方法在噪声条件下的基本开放问题。
• 在信号在冗余字典中稀疏时，识别出压缩信号稳定恢复的必要与充分条件。
• 研究字典相干性对ℓ₁-合成性能的影响，特别是相干字典是否能支持有效的测量矩阵。
• 建立一个理论框架，将零空间性质与测量噪声存在下的重建稳定性联系起来。

提出的方法

• 提出基于字典的零空间性质（D-NSP）作为无噪声条件下s-稀疏信号精确恢复的充分必要条件。
• 将D-NSP定义为对测量矩阵A的条件：对所有非零v ∈ ker(A)及所有满足|T| ≤ s的指标集T，有||v_T||_1 < ||v_{T^c}||_1。
• 通过对偶性论证与几何分析，证明D-NSP在实数情形下等价于噪声下的稳定性。
• 利用序列在AD的核空间中的极限论证，证明D-NSP蕴含关键函数F(w)的下有界性，从而确保稳定性。
• 采用将向量分解为(ker D)^⊥与ker D中分量的方法，分析ℓ₁-最小化目标函数的行为。
• 证明在核空间上目标函数的下确界是下半连续的，这支持了在D-NSP下正的下确界的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℓ₁-合成方法在测量噪声下稳定恢复可压缩信号的必要与充分条件是什么？
• RQ2 相干字典是否仍可支持存在能保证ℓ₁-合成方法良好性能的测量矩阵？
• RQ3 当字典为全火花时，ℓ₁-合成方法在何种条件下对所有测量矩阵均失效？
• RQ4 在实数情形下，基于字典的零空间性质（D-NSP）是否等价于噪声下的稳定性？

主要发现

• D-NSP是字典基压缩感知中ℓ₁-合成方法在无测量噪声下成功的首个充分必要条件。
• 若字典D为全火花且相干性较高，则不存在任何测量矩阵A能保证通过ℓ₁-合成实现稳定恢复。
• 在实数情形下，D-NSP等价于ℓ₁-合成方法在噪声下的稳定性，即重建误差被有界于噪声水平的倍数之内。
• 本文证明：函数F(w) = (||w_{T^c}||_1 - ||w_T + ū||_1)/||Dw||_2在D^{-1}(ker A ≠ 0)上具有正的下确界，当且仅当D-NSP成立。
• 在核空间上目标函数的下确界是下半连续的，这确保了在D-NSP下正的下确界存在。
• 分析表明，当D为全火花且相干时，ℓ₁-合成方法对任意测量矩阵A均普遍失效。