[论文解读] A Numerical Measure of the Instability of Mapper-Type Algorithms

Francisco Belchi Guillamon, Jacek Brodzki+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Advanced Clustering Algorithms Research被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对Mapper类算法的数值不稳定性度量，量化了输出图对参数选择的敏感性。它推导了不稳定性理论边界，并表明可靠的Mapper输出可作为不稳定性景观中的局部极小值被找到，从而实现系统化的参数选择。

ABSTRACT

Mapper is an unsupervised machine learning algorithm generalising the notion of clustering to obtain a geometric description of a dataset. The procedure splits the data into possibly overlapping bins which are then clustered. The output of the algorithm is a graph where nodes represent clusters and edges represent the sharing of data points between two clusters. However, several parameters must be selected before applying Mapper and the resulting graph may vary dramatically with the choice of parameters. We define an intrinsic notion of Mapper instability that measures the variability of the output as a function of the choice of parameters required to construct a Mapper output. Our results and discussion are general and apply to all Mapper-type algorithms. We derive theoretical results that provide estimates for the instability and suggest practical ways to control it. We provide also experiments to illustrate our results and in particular we demonstrate that a reliable candidate Mapper output can be identified as a local minimum of instability regarded as a function of Mapper input parameters.

研究动机与目标

• 为解决Mapper算法中由于对参数选择高度敏感而导致的缺乏系统化参数选择方法的问题。
• 定义一种内在的、可量化的Mapper输出不稳定性度量，适用于不同参数设置下的评估。
• 推导不稳定性理论估计值，以指导稳健的参数选择。
• 通过实证结果表明，稳定的Mapper输出与不稳定性函数中的局部极小值相对应。

提出的方法

• 基于不同参数配置下Mapper输出图的变化，提出一种数值不稳定性度量。
• 采用函数框架将Mapper输出建模为参数的函数，从而能够对其中的变异性进行分析研究。
• 利用拓扑和概率论证，推导出不稳定性上界的理论估计。
• 通过计算实验评估参数网格中的不稳定性，并识别出局部极小值。
• 将不稳定性度量应用于真实和合成数据集，以验证其在检测可靠输出方面的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mapper算法的输出如何随输入参数的变化而变化？
• RQ2 能否定义一种定量的不稳定性度量，以捕捉Mapper输出对参数选择的敏感性？
• RQ3 Mapper输出的不稳定性是否存在理论边界？
• RQ4 能否将可靠的Mapper输出识别为不稳定性景观中的局部极小值？

主要发现

• Mapper输出的不稳定性高度依赖于参数选择，在不同配置下表现出显著的变异性。
• 推导出了不稳定的理论上限，为评估给定Mapper输出的稳定性提供了一种系统化方法。
• 实证结果表明，稳定的Mapper输出始终与不稳定性函数中的局部极小值相对应。
• 不稳定性度量通过识别产生稳健、可重现图结构的参数配置，实现了有效的参数选择。