[论文解读] A Numerical Method to solve Optimal Transport Problems with Coulomb Cost

Jean‐David Benamou, Guillaume Carlier+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种基于迭代Bregman投影的数值方法，用于求解具有库仑势能的多边际最优传输问题，该问题与密度泛函理论的强相互作用极限密切相关。通过在Kantorovich公式中应用熵正则化，问题被转化为在交叠的边缘约束下进行Kullback-Leibler投影，从而实现对最优传输计划的高效计算，并可通过显式投影获得结果，且在1D和3D原子体系中与解析解相比验证了其准确性。

ABSTRACT

In this paper, we present a numerical method, based on iterative Bregman projections, to solve the optimal transport problem with Coulomb cost. This is related to the strong interaction limit of Density Functional Theory. The first idea is to introduce an entropic regularization of the Kantorovich formulation of the Optimal Transport problem. The regularized problem then corresponds to the projection of a vector on the intersection of the constraints with respect to the Kullback-Leibler distance. Iterative Bregman projections on each marginal constraint are explicit which enables us to approximate the optimal transport plan. We validate the numerical method against analytical test cases.

研究动机与目标

• 开发一种数值上可处理的方法，以求解在密度泛函理论强相互作用极限下出现的具有奇异排斥库仑势能的多边际最优传输问题。
• 通过将问题重新表述为具有$N$个边缘的最优传输问题，解决求解完整多体薛定谔方程的计算不可行性。
• 实现在氦和锂等原子体系中，电子传输计划与Kantorovich势能的实际计算。
• 在一维和径向对称的三维情况下，通过与解析解对比验证该方法的准确性。

提出的方法

• 在多边际最优传输问题的Kantorovich公式中应用熵正则化，将其转化为Kullback-Leibler投影问题。
• 通过在由边缘约束定义的仿射约束集上迭代进行Bregman投影来求解正则化问题。
• 每一步投影均可显式计算，从而实现该迭代算法的高效且稳定的数值实现。
• 该方法利用熵正则化带来的凸化和光滑性特性，以处理库仑势能的奇异性和高维性。
• 采用网格细化策略以提高电子密度较高区域的精度，特别是在径向原子体系中。
• 算法采用均匀网格上的有限差分离散化实现，正则化参数$\epsilon$经过调整以保证数值稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 迭代Bregman投影能否有效应用于具有奇异排斥库仑势能的多边际最优传输问题？
• RQ2 该方法在计算氦和锂等原子体系的最优传输计划与Kantorovich势能时，其精度如何？
• RQ3 熵正则化对传输计划结构有何影响，特别是在电子局域化方面？
• RQ4 如何设计网格细化策略，以在不增加计算成本的前提下提高高密度区域的分辨率？
• RQ5 该方法能否在保持物理一致性的同时扩展至更大体系或更高维度？

主要发现

• 该方法成功计算了一维三电子体系的最优传输计划，在$\epsilon = 0.007$时，Kantorovich势能的相对$L^2$误差低于$0.004$。
• 在一维三电子情况下，投影传输计划$\pi_{12}(\gamma)$的支持区域与电子位置的三个独立区域的解析预测完全一致。
• 在三维径向对称的锂原子中，传输计划的支持区域清晰显示出三个分离区域，与电子局域化的物理预期一致。
• 锂原子的Kantorovich势能表现出正确的渐近行为$v(r) \sim \frac{2}{r}$，当$r \to \infty$时，证实了物理一致性。
• 三维径向情况的数值结果与Seidl、Gori-Giorgi和Savin的已知解析结果一致，验证了该方法的准确性。
• 熵正则化引入了平滑效应，但传输计划的整体结构仍保持物理意义明确且局域化。