[论文解读] A numerical solution to the minimum-time control problem for linear discrete-time systems

Laurent Bako, Dulin Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 16被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种针对线性离散时间系统最小时间控制问题的通用数值解法，采用稀疏优化方法。通过将状态序列的基数最小化松弛为加权ℓ2-范数最小化，该方法实现了凸优化，且在充分条件下可精确恢复时间最优控制，适用于任意多输入系统，无需依赖打-打控制结构。

ABSTRACT

The minimum-time control problem consists in finding a control policy that will drive a given dynamic system from a given initial state to a given target state (or a set of states) as quickly as possible. This is a well-known challenging problem in optimal control theory for which closed-form solutions exist only for a few systems of small dimensions. This paper presents a very generic solution to the minimum-time problem for arbitrary discrete-time linear systems. It is a numerical solution based on sparse optimization, that is the minimization of the number of nonzero elements in the state sequence over a fixed control horizon. We consider both single input and multiple inputs systems. An important observation is that, contrary to the continuous-time case, the minimum-time control for discrete-time systems is not necessarily entirely bang-bang.

研究动机与目标

• 为任意线性离散时间系统开发一种通用且计算可行的最小时间控制问题解法。
• 解决现有方法局限于低维系统或特定系统（如双积分器）的局限性。
• 通过凸松弛克服直接最小化状态序列稀疏性（基数）的计算不可行性。
• 证明在特定理论条件下，松弛问题可精确恢复真实最小时间解。
• 将适用范围扩展至不总是满足打-打控制结构的系统，此类结构在离散时间系统中并不总是成立。

提出的方法

• 将最小时间控制问题表述为在有限时域内最小化非零状态数量，即状态轨迹的稀疏性。
• 通过使用状态的加权ℓ2-范数，将最小化状态序列基数的非凸、组合优化问题松弛为凸优化问题。
• 引入随时间变化的权重，随时间增加以促进早期状态衰减和稀疏性。
• 使用凸优化求解器高效计算将状态驱动至零的最小时间控制序列。
• 推导出松弛解与真实最小时间控制策略完全匹配的充分条件。
• 实施一种在线滚动时域策略，即周期性求解优化问题，而非在每个时间步都求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对稀疏优化问题的凸松弛能否在离散时间线性系统中精确得到最小时间控制问题的解？
• RQ2 所提出的方法是否适用于任意多输入线性系统，而不仅限于双积分器等特殊情况？
• RQ3 为何在离散时间系统中，最优控制不一定是打-打控制，而连续时间系统中却是？
• RQ4 在何种条件下，加权ℓ2-范数松弛能恢复真实最小时间解？
• RQ5 该方法在高维状态和多输入系统中的表现如何？

主要发现

• 所提方法成功计算出双积分器系统的时最优控制序列，其结果与连续时间解中预期的抛物线轨迹一致。
• 对于双积分器系统，最优控制并非完全为打-打控制，证实了先前研究结果：离散时间系统可能表现出非打-打最优控制。
• 在具有随机动力学的3D多输入系统中，该方法计算出的可行控制序列在10步时域内将状态驱动至零。
• 当状态远离零点时，控制输入趋向其边界（即∥u∥₂ = 1），随着状态趋近零点而减小，表明具有有效的反馈行为。
• 加权ℓ2-范数松弛方法在推导出的充分条件下，能够精确恢复最小时间解，验证了理论框架的有效性。
• 该方法支持在实时应用中进行周期性重优化，降低计算负载的同时保持性能。