[论文解读] A Numerical Study of Radial Basis Function Based Methods for Options Pricing under the One Dimension Jump-diffusion Model

Ron Chan, Simon Hubbert|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 50被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种基于立方样条径向基函数（Cubic Spline RBF）的无网格方法，用于求解一维跳跃扩散模型（如Merton和Kou模型）下的期权定价偏积分微分方程（PIDE）。该方法对美式期权实现了空间二阶精度和时间一阶精度，对欧式期权则实现了空间和时间的二阶精度，同时避免了行权价附近的振荡现象。

ABSTRACT

The aim of this chapter is to show how option prices in jump-diffusion models can be computed using meshless methods based on Radial Basis Function (RBF) interpolation. The RBF technique is demonstrated by solving the partial integro-differential equation (PIDE) in one-dimension for the American put and the European vanilla call/put options on dividend-paying stocks in the Merton and Kou jump-diffusion models. The radial basis function we select is the Cubic Spline. We also propose a simple numerical algorithm for finding a finite computational range of an improper integral term in the PIDE so that the accuracy of approximation of the integral can be improved. Moreover, the solution functions of the PIDE are approximated explicitly by RBFs which have exact forms so we can easily compute the global integral by any kind of numerical quadrature. Finally, we will not only show numerically that our scheme is second order accurate in both spatial and time variables in a European case but also second order accurate in spatial variables and first order accurate in time variables in an American case.

研究动机与目标

• 开发一种基于无网格RBF的数值方法，用于求解一维跳跃扩散模型中的PIDE。
• 解决期权定价中，特别是在短期到期期权情形下，行权价附近出现的数值不稳定性和振荡问题。
• 通过定义有限计算范围，改进PIDE中全局积分项的近似精度。
• 通过立方样条基函数的分解技术，避免RBF插值中的病态问题。
• 展示欧式期权在空间和时间上均实现二阶收敛，美式期权在空间上实现二阶收敛、在时间上实现一阶收敛。

提出的方法

• 采用立方样条径向基函数对跳跃扩散模型中PIDE的空间部分进行离散化。
• 利用跳跃密度的Lipschitz连续性和尾部界，推导出PIDE中积分项的有限计算范围，确保截断误差可控。
• 对立方样条RBF应用分解技术，避免插值过程中出现的数值病态问题。
• 采用二阶BDF时间积分格式，尽管对美式期权仅表现出一阶时间收敛性。
• 在有限范围内对积分项进行数值近似，并利用跳跃密度（正态或双指数分布）的性质推导误差界。
• 该方法应用于Merton和Kou跳跃扩散模型下的欧式与美式标准期权。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于RBF的方法能否在跳跃扩散模型下，对欧式期权实现空间二阶收敛？
• RQ2 如何在保持数值稳定性的前提下，对PIDE中的全局积分项实现精确截断？
• RQ3 为何使用二阶时间积分格式的RBF方法在美式期权上仅表现出一阶时间收敛性？
• RQ4 所提方法能否避免标准有限差分方法中常见的行权价附近Delta和Gamma的振荡现象？
• RQ5 Merton和Kou模型中，积分项的有限计算范围如何依赖于跳跃分布参数？

主要发现

• RBF方法在跳跃扩散模型下对欧式期权实现了空间二阶精度和时间二阶精度。
• 对美式期权，尽管使用了二阶BDF时间积分格式，方法仅实现空间二阶精度和时间一阶精度。
• 所提出的积分项有限计算范围确保了截断误差被控制在 $ 2rac{ ho}{ ho} imes ext{constant} imes ho $ 以内，并为Merton和Kou模型分别推导出显式公式。
• 立方样条分解技术有效避免了RBF插值矩阵的病态性，提升了数值稳定性。
• 该方法成功缓解了行权价附近Delta和Gamma的振荡现象，这是传统有限差分格式中常见的问题。
• 该方法可扩展至其他Lévy型模型（如CGMY和Variance Gamma模型），因为PIDE结构得以保持。