[论文解读] A numerical study of the window condition for Chern numbers of Hofstadter Butterflies

J. E. Avron, Oded Kenneth+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Topological Materials and Phenomena参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文研究了三角晶格霍夫施塔特模型中陈数的模 q 不确定性，表明与矩形晶格的窗口条件不同，三角晶格上的许多 (p,q) 组合并不符合任何连续窗口，暗示非绝热连接，并表明该不确定性通常仅简化为符号不确定性。

ABSTRACT

The Chern numbers for Hofstadter models with rational flux 2*pi*p/q are partially determined by a Diophantine equation. A Mod q ambiguity remains. The resolution of this ambiguity is only known for the rectangular lattice with nearest neighbors hopping where it has the form of a "window condition". We study a Hofstadter butterfly on the triangular lattice for which the resolution of ambiguity is open. In the model many pairs (p,q) satisfy a window condition which is shifted relative to the window of the square model. However, we also find pairs (p,q) where the Chern numbers do not belong to any contiguous window. This shows that the rectangular model and the one we study on the triangular lattice are not adiabatically connected: Many gaps must close. Our results suggest the conjecture that the mod q ambiguity in the Diophantine equation generically reduces to a sign ambiguity.

研究动机与目标

• 解决霍夫施塔特模型在三角晶格上陈数的模 q 不确定性问题，其中矩形晶格的窗口条件不适用。
• 确定在能隙结构不同的情况下，三角晶格模型是否与矩形晶格模型绝热相连。
• 研究在非矩形晶格中，丢番图方程的模 q 不确定性是否通常简化为符号不确定性。
• 提供数值证据表明，三角晶格上某些 (p,q) 组合不满足任何连续窗口条件，从而挑战窗口条件的普适性。
• 通过基于类 CAPTCHA 理性推理的人类式模式识别图形方法，探索不同晶格模型之间绝热形变的拓扑障碍。

提出的方法

• 使用基于 Chambers 关系的高效算法，对具有有理通量 Φ = 2πp/q 的三角晶格上的霍夫施塔特蝴蝶谱进行数值计算。
• 通过丢番图方程 σj = s j mod q 计算陈数，其中 s 是 p 模 q 的模逆元，且模 q 不确定性未解决。
• 将此前适用于矩形晶格的窗口条件启发式方法应用于三角晶格，以检验其适用性。
• 采用受 CAPTCHA 识别启发的图形方法，利用人类直觉检测相邻点是否属于同一蝴蝶翼，以识别拓扑障碍。
• 比较不同 (p,q) 组合之间的陈数赋值，以检测其与标准窗口条件的偏离。
• 使用 Streda 公式和基于能隙的陈数界限（如式 (C.6) 所示）分析能隙结构和能带拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 矩形晶格上陈数的窗口条件是否适用于三角晶格的霍夫施塔特模型？
• RQ2 在窗口条件于三角晶格上失效的情况下，三角晶格与矩形晶格的霍夫施塔特模型是否仍可绝热相连？
• RQ3 在非矩形晶格中，陈数的模 q 不确定性本质为何？是否可简化为符号不确定性？
• RQ4 基于类人类模式识别（类 CAPTCHA 推理）的数值方法能否在复杂的分形相图中可靠地分配陈数？
• RQ5 在三角晶格上，哪些 (p,q) 组合的陈数超出所有连续窗口？这又对拓扑障碍意味着什么？

主要发现

• 在三角晶格上，许多 (p,q) 组合不满足任何连续窗口条件，这与矩形晶格模型不同。
• 窗口条件在三角晶格上失效，意味着该模型无法与矩形晶格模型绝热相连，因为在形变过程中必须有大量能隙关闭。
• 在三角晶格上，窗口条件无法解决丢番图方程中陈数的模 q 不确定性，表明存在更复杂的解析机制。
• 结果支持一个猜想：在非矩形霍夫施塔特模型中，模 q 不确定性通常仅简化为符号不确定性。
• 当 q=512 且 Φd=π/2 时，三角晶格的数值蝴蝶图显示出一致的着色，表明窗口条件可谨慎应用，但仅适用于 (p,q) 组合的一个子集。
• 尽管 Streda 公式在理论上具有用处，但由于需要预先知道相邻点是否属于同一蝴蝶翼，因此在自动化陈数赋值中不切实际。