[论文解读] A O(c^k n) 5-Approximation Algorithm for Treewidth

Hans L. Bodlaender, Pål Grønås Drange+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用 10

一句话总结

该论文提出了首个在时间 $2^{O(k)}n$ 内运行的树宽常数因子近似算法，其中 $k$ 为树宽，$n$ 为顶点数。该算法要么证明树宽超过 $k$，要么构造出宽度至多为 $5k+4$ 的树分解，实现了与 $k$ 呈单指数依赖、与 $n$ 呈线性依赖的 5-近似。该结果解决了在有界树宽图上动态规划中长期存在的性能瓶颈。

ABSTRACT

We give an algorithm that for an input n-vertex graph G and integer k>0, in time 2^[O(k)]n either outputs that the treewidth of G is larger than k, or gives a tree decomposition of G of width at most 5k+4. This is the first algorithm providing a constant factor approximation for treewidth which runs in time single-exponential in k and linear in n. Treewidth based computations are subroutines of numerous algorithms. Our algorithm can be used to speed up many such algorithms to work in time which is single-exponential in the treewidth and linear in the input size.

研究动机与目标

• 开发一种在 $k$ 上呈单指数时间复杂度、在 $n$ 上呈线性时间复杂度的树宽常数因子近似算法。
• 克服树宽计算中长期存在的瓶颈问题，此前的算法要么时间复杂度更高，要么无法在 $n$ 呈线性依赖的同时实现常数因子近似。
• 为需要小宽度树分解的基于树宽的算法提供一种实用且理论高效的子程序。

提出的方法

• 该算法采用基于递归分隔符的方法，反复在子图中识别小分隔符，以指导树分解的构建。
• 它引入了一种新颖的数据结构，支持在 $O(c^k \log n)$ 时间内完成查询，其中 $c$ 为某常数，从而实现对树分解上动态规划的高效支持。
• 该方法利用树分解的路径分解，并沿根到叶的路径计算中间表 $D[i_t]$，以追踪有效分隔及其大小。
• 它采用基于签名和接口的动态规划，以维护树分解节点间的一致性，确保分隔信息的正确传播。
• 该算法结合左推和右推分隔，以检测子图中的 $\frac{8}{9}$-分隔，用于验证低宽度分解的存在性。
• 在递归底部引入一个虚拟表，以强制执行终端约束，并确保分隔追踪的正确初始化。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在时间 $2^{O(k)}n$ 内计算出树宽的常数因子近似？
• RQ2 能否设计一种树宽近似算法，使其在 $k$ 上为单指数时间复杂度，且在 $n$ 上为线性时间复杂度？
• RQ3 此类算法是否可作为子程序，用于加速有界树宽图上的动态规划？
• RQ4 在单指数时间复杂度和 $n$ 的线性依赖下，可实现的最佳近似比是多少？

主要发现

• 该算法实现了树宽的 5-近似，当树宽至多为 $k$ 时，构造出宽度至多为 $5k+4$ 的树分解。
• 运行时间为 $2^{O(k)}n$，这是首个在常数因子近似下同时实现 $k$ 的单指数依赖和 $n$ 的线性依赖的算法。
• 提出了一种中间算法，可在时间 $2^{O(k)}n\log n$ 内实现 $3k+4$-近似，展示了近似比与效率之间的权衡。
• 该算法使用一种新颖的数据结构，并在树分解路径上进行动态规划，以支持每次查询 $O(c^k \log n)$ 时间内的高效查询。
• 该方法通过用高效近似替代精确树宽计算，使得有界树宽图上的问题可设计出更快速的算法。
• 该结果解决了参数算法领域长期存在的开放问题，此前的算法要么时间复杂度更高，要么无法在 $n$ 呈线性依赖的同时实现常数因子近似。