[论文解读] A one-step optimal energy decay formula for indirectly nonlinearly damped hyperbolic systems coupled by velocities

Fatiha Alabau‐Boussouira, Zhiqiang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文为通过速度耦合的间接非线性阻尼双曲系统建立了单步最优能量衰减公式，证明了整体能量的衰减速率与仅含阻尼方程时相同。通过乘子法、加权非线性积分不等式以及最优权凸性方法，表明即使在零附近具有任意非线性性时，阻尼效应也能通过速度耦合完全从阻尼方程传递至未阻尼方程。

ABSTRACT

In this paper, we consider the energy decay of a damped hyperbolic system of wave-wave type which is coupled through the velocities. We are interested in the asymptotic properties of the solutions of this system in the case of indirect nonlinear damping, i.e. when only one equation is directly damped by a nonlinear damping. We prove that the total energy of the whole system decays as fast as the damped single equation. Moreover, we give a one-step general explicit decay formula for arbitrary nonlinearity. Our results shows that the damping properties are fully transferred from the damped equation to the undamped one by the coupling in velocities, different from the case of couplings through displacements as shown in \cite{AB01, ACK01, AB02, AL12} for the linear damping case, and in \cite{AB07} for the nonlinear damping case. The proofs of our results are based on multiplier techniques, weighted nonlinear integral inequalities and the optimal-weight convexity method of \cite{AB05, AB10}.

研究动机与目标

• 分析仅通过非线性反馈直接阻尼一个方程的双曲系统的能量衰减特性。
• 确定整个耦合系统的能量是否以与单个阻尼方程相同的速率衰减。
• 推导适用于零附近任意非线性阻尼增长的一般性、显式、一步衰减公式。
• 建立速度耦合可实现从阻尼方程到未阻尼方程的完全阻尼特性传递，即使在阻尼区域无几何条件时亦成立。
• 将现有能量衰减结果扩展至具有间接非线性阻尼和任意反馈增长的系统。

提出的方法

• 应用乘子技术推导耦合波动系统的能量估计。
• 利用加权非线性积分不等式处理零附近任意非线性反馈增长。
• 采用先前工作中提出的最优权凸性方法以获得精确的衰减估计。
• 构造截断函数和辅助椭圆问题，以局部化并控制空间能量项。
• 通过分部积分和柯西-施瓦茨不等式控制能量项并完成估计。
• 结合多次应用乘子法所得估计，推导出一个统一的、单步衰减公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于仅一个方程被间接阻尼的双曲系统，其能量是否能以与单个阻尼波动方程相同的速率衰减？
• RQ2 是否可能推导出适用于任意非线性阻尼反馈的一步显式衰减公式，而不论其在零附近的增长特性如何？
• RQ3 速度耦合如何实现从阻尼方程到未阻尼方程的完全阻尼传递，特别是在耦合系数在部分区域消失的情况下？
• RQ4 阻尼区域的几何条件在衰减速率中起什么作用？是否可在无此类假设下实现最优衰减？
• RQ5 最优权凸性方法能否扩展至具有非线性阻尼的耦合系统，以获得精确且显式的衰减估计？

主要发现

• 耦合系统的总能量衰减速率与单个阻尼波动方程的能量衰减速率相同，证明了通过速度耦合实现的完全阻尼传递。
• 推导出适用于任意非线性的通用显式一步衰减公式，无需迭代或半显式过程。
• 该衰减速率对相应有限维系统是最优的，并在半离散化标量波动方程和板方程中得到验证。
• 该方法无需对阻尼区域施加几何条件，与以往需此类假设才能实现指数衰减的结果不同。
• 证明技术通过截断函数、辅助椭圆问题和加权积分不等式，成功控制了空间能量项。
• 结果将先前关于线性和多项式阻尼的研究推广至任意非线性反馈，包括对数和多项式-对数增长。