[论文解读] A $p$-Adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry

Lucas Mann|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文利用凝聚数学和 $Ω^+_X/\pi$ 上完备拓扑模的导出范畴，为刚性解析几何中的 $p$-挠平展层建立了完整的 6-函子形式系统。通过将问题约化到环面的情形，利用 $φ$-模结构和 $p$-进设定下的 Riemann-Hilbert 对应关系，证明了在混合特征域上，对完备光滑刚性解析概形的 $Λ_p$-上同调的 Poincaré 对偶性。

ABSTRACT

We develop a full 6-functor formalism for $p$-torsion étale sheaves in rigid-analytic geometry. More concretely, we use the recently developed condensed mathematics by Clausen--Scholze to associate to every small v-stack (e.g. rigid-analytic variety) $X$ with pseudouniformizer $π$ an $\infty$-category $\mathcal D^a_\square(\mathcal O^+_X/π)$ of "derived quasicoherent complete topological $\mathcal O^+_X/π$-modules" on $X$. We then construct the six functors $\otimes$, $\underline{Hom}$, $f^*$, $f_*$, $f_!$ and $f^!$ in this setting and show that they satisfy all the expected compatibilities, similar to the $\ell$-adic case. By introducing $φ$-module structures and proving a version of the $p$-torsion Riemann-Hilbert correspondence we relate $\mathcal O^+_X/π$-sheaves to $\mathbb F_p$-sheaves. As a special case of this formalism we prove Poincaré duality for $\mathbb F_p$-cohomology on rigid-analytic varieties. In the process of constructing $\mathcal D^a_\square(\mathcal O^+_X/π)$ we also develop a general descent formalism for condensed modules over condensed rings.

研究动机与目标

• 为刚性解析几何中的 $p$-挠平展层建立完整的 6-函子形式系统。
• 利用凝聚数学构造完备拓扑 $Ω^+_X/\pi$-模的导出范畴 $Δ^\square(\u03a9^+_X/\pi)$。
• 在混合特征域上，为完备光滑刚性解析概形上的 $Λ_p$-上同调证明 Poincaré 对偶性。
• 通过 $φ$-模结构和 $p$-挠 Riemann-Hilbert 对应关系，建立 $Ω^+_X/\pi$-层与 $Λ_p$-局部系统之间的联系。
• 提供一种新的、局部的 Poincaré 对偶性证明，适用于 $ε = p$ 的情形，其形式与经典情形及 $ε ≠ p$ 的情形类似。

提出的方法

• 使用凝聚数学和凝聚环，在小 v-叠 $X$ 上定义 $Ω^+_X/\pi$-模的导出拟相干完备拓扑模的 $∞$-范畴 $Δ^\square(\u03a9^+_X/\pi)$。
• 在此设定中构造六个函子 $⊗$、$ΔΩ$、$f^*$、$f_*$、$f_!$ 和 $f^!$，并验证所有预期的相容性。
• 应用凝聚环上凝聚模的一般下降形式系统，以在仿射完美oid空间上建立该形式系统。
• 在 $Ω^+_X/\pi$-模上引入 $φ$-模结构，并证明一个 $p$-挠 Riemann-Hilbert 对应关系，将其与 $Λ_p$-局部系统联系起来。
• 通过 6-函子形式系统在局部验证对偶性，将 Poincaré 对偶性的证明约化到环面的情形。
• 利用稳定自函子理论和滤子列的下降性质，确保该形式系统与极限和余极限的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为刚性解析几何中的 $p$-挠平展层建立完整的 6-函子形式系统？
• RQ2 如何利用凝聚数学构造完备 $Ω^+_X/\pi$-模的导出范畴？
• RQ3 $φ$-模在建立 $Ω^+_X/\pi$-层与 $Λ_p$-局部系统之间关系中起什么作用？
• RQ4 在刚性解析设定下，$p$-挠 Riemann-Hilbert 对应关系是否成立？
• RQ5 能否通过局部 6-函子形式系统证明 $Λ_p$-上同调的 Poincaré 对偶性？

主要发现

• 本文利用凝聚数学，为刚性解析概形上的 $p$-挠平展层建立了完整的 6-函子形式系统。
• 证明了 $∞$-范畴 $Δ^\square(\u03a9^+_X/\pi)$ 满足六个函子之间所有预期的相容性。
• 建立了 $p$-挠 Riemann-Hilbert 对应关系，通过 $φ$-模结构将 $Ω^+_X/\pi$-层与 $Λ_p$-局部系统联系起来。
• 在混合特征域上，为完备光滑刚性解析概形上的 $Λ_p$-上同调证明了 Poincaré 对偶性。
• 证明过程约化到环面的情形，通过手算验证对偶性，利用 6-函子形式系统在局部进行验证。
• 发展并应用了凝聚环上凝聚模的下降形式系统，以在仿射完美oid空间上构造该形式系统。