[论文解读] A p-adic monodromy theorem for de Rham local systems

Koji Shimizu|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文建立了关于 p-进域上光滑刚性解析概形上的 de Rham 局部系统之 p-进单值定理，证明了在每个经典点附近，通过有限基变换后，每个 de Rham 局部系统均成为半稳定（若潜在为结晶的则为结晶的）。该结果为族中的半稳定化提供了霍奇理论基础，并引入了此类系统中潜在结晶点集的概念。

ABSTRACT

We study horizontal semistable and horizontal de Rham representations of the absolute Galois group of a certain smooth affinoid over a p-adic field. In particular, we prove that a horizontal de Rham representation becomes horizontal semistable after a finite extension of the base field. As an application, we show that every de Rham local system on a smooth rigid analytic variety becomes horizontal semistable etale locally around every classical point. We also discuss potentially crystalline loci of de Rham local systems and cohomologically potentially good reduction loci of smooth proper morphisms.

研究动机与目标

• 在 p-进域上建立 de Rham 局部系统族的 p-进单值定理。
• 证明 de Rham 局部系统在每个经典点附近经有限基变换后成为半稳定。
• 定义并研究光滑刚性解析概形上 de Rham 局部系统的潜在结晶点集。
• 研究光滑射影态射族中可能良好减少的上同调点集。
• 为混合特征域上族的半稳定化猜想提供证据。

提出的方法

• 使用 p-进域绝对伽罗瓦群的水平 de Rham 与半稳定表示理论。
• 应用 p-进霍奇理论中的结果，特别是 Berger 的 p-进单值定理，以处理伽罗瓦表示族。
• 在刚性解析概形上使用解析几何及 adic 空间的概念，研究经典点附近的局部行为。
• 引入潜在结晶点集的概念，即在该开子集内，每个经典点处局部系统均为潜在结晶的。
• 依赖 Liu 与 Zhu 对 de Rham 局部系统的刻画，即通过经典点处的逐点 de Rham 条件。
• 利用 ℓ-进单值权重猜想，并借助不同素数间 Weil–Deligne 表示的相容性，关联 ℓ-进与 p-进上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 p-进域上光滑刚性解析概形上的 de Rham 局部系统，是否可通过有限基变换在每个经典点附近实现半稳定化？
• RQ2 de Rham 局部系统在某点为潜在结晶的点集是否为一个解析开子集？
• RQ3 光滑射影态射的上同调是否在基变换后，于每个经典点附近实现潜在无ramification（ℓ≠p）与潜在结晶（p-进）？
• RQ4 能否为这类态射族定义一个规范的潜在良好减少点集？
• RQ5 潜在结晶点集与潜在良好减少点集如何与全局几何不变量相关联？

主要发现

• 在 p-进域上光滑刚性解析概形上的每个 de Rham Z_p-局部系统，在每个 K-有理点（因此为经典点）附近，经有限基变换后成为半稳定。
• 若 de Rham 局部系统在某经典点处为潜在结晶，则其在该点邻域内亦为潜在结晶，从而定义了潜在结晶点集。
• 潜在结晶点集为解析开子集，且所有此类点集的并集仍为潜在结晶点集。
• 对于相对维数 ≤2 的光滑射影态射，存在任意次数的上同调潜在良好减少点集，使得上同调在该点集上实现潜在无ramification（ℓ≠p）与潜在结晶（p-进）。
• 在给定条件下，ℓ-进与 p-进上同调表示同时为潜在无ramification 与潜在结晶，此结论通过 ℓ-独立性及 Weil–Deligne 表示的相容性得以证明。