[论文解读] A p-adic regulator map and finiteness results for arithmetic schemes

Shuji Saito, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 60被引用 11

一句话总结

本文建立了p-进正规化映射的Bloch-Kato猜想与算术概形中算术不变量的有限性之间的联系。它证明了在余维数2中，p-进正规化映射的像蕴含了 Chow 群和无ramification上同调中p-主 torsion 的有限性，并建立了到一种新型p-进上同调理论的cycle class map的单射性结果，支持了Beilinson-Lichtenbaum猜想。

ABSTRACT

A main theme of the paper is a conjecture of Bloch-Kato on the image of $p$-adic regulator maps for a proper smooth variety $X$ over an algebraic number field $k$. The conjecture for a regulator map of particular degree and weight is related to finiteness of two arithmetic objects: One is the $p$-primary torsion part of the Chow group in codimension 2 of $X$. Another is an unramified cohomology group of $X$. As an application, for a regular model ${\mathscr X}$ of $X$ over the integer ring of $k$, we show an injectivity result on torsion of a cycle class map from the Chow group in codimension 2 of ${\mathscr X}$ to a new $p$-adic cohomology of ${\mathscr X}$ introduced by the second author, which is a candidate of the conjectural étale motivic cohomology with finite coefficients of Beilinson-Lichtenbaum.

研究动机与目标

• 研究算术概形上余维数2中p-进正规化映射的像的Bloch-Kato猜想。
• 将该猜想与两个算术不变量的有限性联系起来：Chow群中的p-主 torsion 和无ramification上同调。
• 建立从余维数2的Chow群到一种新型p-进上同调理论的cycle class map的单射性结果，该理论是具有有限系数的étale motivic上同调的一个候选。
• 通过一种新型p-进上同调构造，为Beilinson-Lichtenbaum关于具有有限系数的étale motivic上同调的猜想提供证据。

提出的方法

• 在数域上代数簇的正规模型上引入一种新型p-进上同调理论，其构造为具有Z/p^rZ系数的étale层的极限。
• 使用从高阶Chow群到连续Galois上同调的p-进正规化映射，重点关注(r,m) = (2,1)的情形。
• 应用具有Q_p/Z_p系数的无ramification上同调理论，该理论通过在余维数1点处无ramification的étale上同调来定义。
• 建立一个包含cycle class map、Pontryagin对偶性和正规化映射对偶的交换图，以分析torsion和余核的有限性。
• 运用Milne的对偶定理和étale上同调中的Poincaré对偶性，将Brauer群与上同调群联系起来。
• 在Brauer群和无ramification上同调有限的假设下，推导出cycle class map的核和余核的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bloch-Kato猜想中关于p-进正规化映射的像是否蕴含了在数域上正规射影概形上余维数2循环的Chow群中p-主 torsion 的有限性？
• RQ2 在适当条件下，p-进正规化映射在Q_p/Z_p系数下的像是否等于子群H^1_g(k, H^2_et(X̄, Q_p/Z_p(2)))？
• RQ3 从CH^2(X)到由第二作者引入的新型p-进上同调理论的cycle class map的单射性是否在数域整环上代数簇的正规模型上成立？
• RQ4 无ramification上同调H^3_ur(K, Q_p/Z_p(2))的有限性是否可与余维数2中Chow群torsion的有限性相联系？
• RQ5 该新型p-进上同调理论在多大程度上可作为Beilinson和Lichtenbaum所猜想的具有有限系数的étale motivic上同调的候选？

主要发现

• 条件H1（余维数2中p-进正规化映射的Bloch-Kato猜想）蕴含H1*（具有Q_p/Z_p系数的类似陈述），尽管该蕴含关系非平凡。
• Bloch-Kato猜想H1蕴含CH^2(X)中p-主 torsion 子群的有限性。
• Bloch-Kato猜想H1蕴含无ramification上同调群H^3_ur(K, Q_p/Z_p(2))的有限性。
• 建立了从CH^2(X)到第二作者引入的新型p-进上同调理论的cycle class map的单射性结果，该理论是具有有限系数的étale motivic上同调的候选。
• 在有限性假设下，cycle class map到新型p-进上同调的核同构于CH^2(X)的torsion子群。
• 在假设Br(X)有限的条件下，证明了具有Q_p/Z_p系数的cycle class map的Pontryagin对偶的核同构于X的Brauer群。