[论文解读] A $(p,ν)$-extension of the Appell function $F_1(\cdot)$ and its properties

Showkat Ahmad Dar, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过使用扩展的 Beta 函数 $ B_{p,\nu}(x,y) $，引入了 Appell 函数 $ F_1(\cdot) $ 的 $(p,\nu)$-扩展，建立了其积分表示、Mellin 变换、微分公式、递推关系以及有界不等式。主要贡献是提出了一类新的扩展超几何函数，其在特殊函数和数学物理中有应用，包括与 Meijer 的 $ G $-函数相关的新型积分表示。

ABSTRACT

In this paper, we obtain a $(p,v)$-extension of the Appell hypergeometric function $ F_{1}(\cdot)$, together with its integral representation, by using the extended Beta function $B_{p,v}(x,y)$ introduced in arXiv:1502.06200. Also, we give some of its main properties, namely the Mellin transform, a differential formula, recursion formulas and a bounded inequality. In addition, some new integral representations of the extended Appell function$ F_{1,p,v}(\cdot)$ involving Meijer's $G$-function are obtained.

研究动机与目标

• 通过基于扩展的 Beta 函数 $ B_{p,\nu}(x,y) $ 的 $(p,\nu)$-参数化扩展，推广经典 Appell 超几何函数 $ F_1(\cdot) $。
• 推导新扩展函数 $ F_{1,p,\nu}(\cdot) $ 的积分表示、Mellin 变换和微分公式。
• 建立关于分子参数 $ b_2 $ 和 $ b_3 $ 的递推公式，并证明扩展函数的有界不等式。
• 推导 $ F_{1,p,\nu}(\cdot) $ 关于 Meijer 的 $ G $-函数和合流超几何函数的新型积分表示。

提出的方法

• 通过使用扩展的 Beta 函数 $ B_{p,\nu}(x,y) $ 取代标准 $ F_1 $ 级数中的经典 Beta 函数，定义扩展的 Appell 函数 $ F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y) $。
• 利用扩展的 Beta 函数的积分形式和修正的贝塞尔函数 $ K_{\nu}(z) $，推导出 $ F_{1,p,\nu}(\cdot) $ 的积分表示。
• 通过应用 Mellin-Barnes 积分表示和 $ G $-函数的性质，获得 $ F_{1,p,\nu}(\cdot) $ 的 Mellin 变换。
• 通过对级数表示关于 $ x $ 和 $ y $ 求导，并利用 Pochhammer 符号和扩展的 Beta 函数的性质，推导出微分公式。
• 通过操作 Pochhammer 符号并应用扩展的 Beta 函数的递推恒等式，建立递推公式。
• 利用修正的贝塞尔函数 $ K_{\nu+1/2}(z) $ 的渐近行为和积分估计技术，证明有界不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 Beta 函数的双参数扩展来推广 Appell 函数 $ F_1(\cdot) $？
• RQ2 新 $(p,\nu)$-扩展的 Appell 函数的积分表示和 Mellin 变换是什么？
• RQ3 关于其分子参数 $ b_2 $ 和 $ b_3 $，扩展函数的递推关系是什么？
• RQ4 如何用 Meijer 的 $ G $-函数表示扩展的 Appell 函数？
• RQ5 扩展的 Appell 函数的绝对值的精确上界是什么？

主要发现

• 定义了 $ F_1(\cdot) $ 的 $(p,\nu)$-扩展：$ F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y) = \sum_{m,n=0}^{\infty} \frac{(b_2)_m(b_3)_n B_{p,\nu}(b_1+m+n, c_1-b_1)}{B(b_1, c_1-b_1)} \frac{x^m}{m!} \frac{y^n}{n!} $，其中 $ \Re(p) > 0 $ 且 $ \Re(c_1) > \Re(b_1) > 0 $。
• 建立了积分表示：$ F_{1,p,\nu}(\cdot) = \frac{\Gamma(c_1)}{\Gamma(b_1)\Gamma(c_1-b_1)} \int_0^1 t^{b_1-1}(1-t)^{c_1-b_1-1}(1-xt)^{-b_2}(1-yt)^{-b_3} \times \left[ \int_0^1 u^{b_1+m+n-1}(1-u)^{c_1-b_1-1} e^{-p/(u(1-u))} \right] dt $，涉及扩展的 Beta 函数。
• 将 $ F_{1,p,\nu}(\cdot) $ 的 Mellin 变换表示为 Meijer $ G $-函数，建立了扩展超几何函数与特殊函数之间新的联系。
• 推导出微分公式：$ \frac{\partial}{\partial x} F_{1,p,\nu}(\cdot) = \frac{b_2}{c_1} F_{1,p,\nu}(b_1+1, b_2+1, b_3; c_1+1; x, y) $，展示了其与经典 $ F_1 $ 的导数关系类似。
• 证明了递推公式：$ F_{1,p,\nu}(b_1,b_2+n,b_3;c_1;x,y) = F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y) + \frac{b_1 x}{c_1} \sum_{\ell=1}^n F_{1,p,\nu}(b_1+1,b_2+\ell,b_3;c_1+1;x,y) $，对正整数 $ n $ 成立。
• 建立了精确的上界：$ |F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y)| < \frac{2^{\nu}|p|^{\nu+1}\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}(\Re(p))^{2\nu+1}} \cdot \frac{B(b_1+\nu, c_1-b_1+\nu)}{B(b_1, c_1-b_1)} \cdot F_1(b_1+\nu, b_2, b_3; c_1+2\nu; x, y) $，在 $ x,y $ 和参数满足一定条件时成立。