[论文解读] A $p$-Laplacian Neumann problem with a possibly supercritical nonlinearity

Francesca Colasuonno|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文通过截断法与山路型论证，证明了在可能超临界非线性项 $f(u)$ 下，$p$-拉普拉斯诺伊曼问题存在非平凡、正定、径向非减解。关键结果表明，当 $f(u) = u^{q-1}$ 且 $q > p$ 时，解在 $q \to \infty$ 时依 $W^{1,p}(B)$ 与 $C^{0,\mu}(\overline{B})$（任意 $\mu \in (0,1)$）收敛于极限狄利克雷问题的唯一解 $G$。分析通过在有界径向对称函数锥中工作，利用一致 $L^\infty$ 估计，克服了超临界增长带来的挑战。

ABSTRACT

We look for nonconstant, positive, radially nondecreasing solutions of the quasilinear equation $-Δ_p u+u^{p-1}=f(u)$ with $p>2$, in the unit ball $B$ of $\mathbb R^N$, subject to homogeneous Neumann boundary conditions. The assumptions on the nonlinearity $f$ are very mild and allow it to be possibly supercritical in the sense of Sobolev embeddings. The main tools used are the truncation method and a mountain pass-type argument. In the pure power case, i.e., $f(u)=u^{q-1}$, we detect the limit profile of the solutions of the problems as $q o\infty$.

研究动机与目标

• 建立单位球 $B \subset \mathbb{R}^N$ 中 $p$-拉普拉斯诺伊曼问题在可能超临界非线性项下存在非平凡、正定、径向非减解。
• 解决标准变分方法在非线性项超临界时失效的问题，因为能量泛函在 $W^{1,p}(B)$ 上未定义。
• 分析当纯幂次非线性项 $f(u) = u^{q-1}$ 中的幂次 $q$ 趋于无穷时解的渐近行为。
• 证明解的极限轮廓是涉及 $p$-拉普拉斯算子与零右端项的极限狄利克雷问题的唯一解 $G$。
• 证明解在 $W^{1,p}(B)$ 与 $C^{0,\mu}(\overline{B})$（任意 $\mu \in (0,1)$）中收敛。

提出的方法

• 使用截断法将原始超临界非线性项 $f$ 替换为在有界集上与 $f$ 一致的次临界项 $\tilde{f}$，确保能量泛函在合适函数空间上有定义。
• 将问题限制在非负、径向非减函数的闭凸锥 $\mathcal{C} \subset W^{1,p}_{\mathrm{rad}}(B)$ 中，该锥中可通过嵌入估计获得一致 $L^\infty$ 估计。
• 在截断设定下应用山路型论证，在锥 $\mathcal{C}$ 中寻找能量泛函 $\tilde{I}$ 的临界点，尽管该锥在 $W^{1,p}$ 拓扑下内部为空。
• 使用 Nehari 型集合 $\mathcal{N}_*$ 定位临界点，并证明常值解 $u_0$ 不是局部极小值，从而满足山路几何结构。
• 采用二阶泰勒展开与隐函数定理验证常值解附近的山路几何，依赖于条件 (f₃) 确保非退化性。
• 建立当 $q \to \infty$ 时解 $u_q$ 的一致先验估计，从而通过 $W^{1,p}(B)$ 中的弱收敛与 $C^{0,\mu}(\overline{B})$ 中的强收敛提取极限轮廓 $u_\infty$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性项 $f$ 满足 (f₁)–(f₃) 的温和假设下，$p$-拉普拉斯诺伊曼问题是否允许存在非平凡、正定、径向非减解？
• RQ2 当标准 Sobolev 嵌入失效时，能否在超临界非线性项存在下对能量泛函进行有意义的定义与最小化？
• RQ3 当非线性项为纯幂次 $f(u) = u^{q-1}$ 且 $q \to \infty$ 时，$p$-拉普拉斯诺伊曼问题的解具有何种渐近行为？
• RQ4 此类解的极限轮廓是否为极限狄利克雷问题 $-\Delta_p G + G^{p-1} = 0$ 在 $B$ 中、$G = 1$ 在 $\partial B$ 上的唯一解 $G$？
• RQ5 解 $u_q$ 到 $G$ 的收敛是否在 $W^{1,p}(B)$ 与 $C^{0,\mu}(\overline{B})$（任意 $\mu \in (0,1)$）中同时成立？

主要发现

• 对于满足 (f₁)–(f₃) 的任意非线性项 $f$，在单位球 $B \subset \mathbb{R}^N$、$p > 2$ 下，$p$-拉普拉斯诺伊曼问题至少存在一个非平凡、正定、径向非减解，即使 $f$ 是超临界的。
• 若 $n$ 个不同的点 $u_0^{(i)}$ 满足横截性条件 (f₃)，则至少存在 $n$ 个不同的非平凡解。
• 对于纯幂次非线性项 $f(u) = u^{q-1}$ 且 $q > p$，解 $u_q$ 在 $q \to \infty$ 时依 $W^{1,p}(B) \cap C^{0,\mu}(\overline{B})$ 收敛于 $G$，其中 $G$ 满足 $-\Delta_p G + G^{p-1} = 0$ 在 $B$ 中，$G = 1$ 在 $\partial B$ 上。
• 由于 $\|u_q\|_{W^{1,p}(B)} \to \|G\|_{W^{1,p}(B)}$ 的范数收敛与一致凸性，$W^{1,p}(B)$ 中的收敛是强收敛。
• 极限轮廓 $G$ 是在 $W^{1,p}(B)$ 中满足 $u|_{\partial B} = 1$ 的函数中，Dirichlet 能量 $\frac{1}{p}\|u\|_{W^{1,p}(B)}^p$ 的唯一最小化元，且该下确界仅在 $G$ 处取到。
• 先验估计 $\|u_q\|_{C^{1}(\overline{B})} \leq C$ 对所有 $q$ 一致，保证了极限轮廓 $u_\infty = G$ 的存在性，并为渐近分析提供了依据。