[论文解读] A Parallel Algorithm for solving BSDEs - Application to the pricing and hedging of American options

Céline Labart, Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种可扩展的并行算法，用于求解倒向随机微分方程（BSDEs），以在高维局部波动率模型中对美式期权进行定价与对冲。通过结合Picard迭代与自适应控制变量，并利用512个CPU集群上的MPI并行化，该方法在维度10以内实现了线性加速，展示了在计算密集型金融衍生品定价中的强可扩展性。

ABSTRACT

We present a parallel algorithm for solving backward stochastic differential equations (BSDEs in short) which are very useful theoretic tools to deal with many financial problems ranging from option pricing option to risk management. Our algorithm based on Gobet and Labart (2010) exploits the link between BSDEs and non linear partial differential equations (PDEs in short) and hence enables to solve high dimensional non linear PDEs. In this work, we apply it to the pricing and hedging of American options in high dimensional local volatility models, which remains very computationally demanding. We have tested our algorithm up to dimension 10 on a cluster of 512 CPUs and we obtained linear speedups which proves the scalability of our implementation

研究动机与目标

• 解决在高维局部波动率模型中对美式期权进行定价与对冲的计算挑战。
• 开发一种BSDE求解器的可扩展并行实现，以减少高维问题的计算时间。
• 利用基于蒙特卡洛的BSDE方法，实现对期权价格与德尔塔（对冲头寸）的精确计算。
• 通过512个CPU的集群，在维度高达10的情况下，展示算法的线性加速与可扩展性。
• 克服顺序算法在高维计算中需数小时的局限性。

提出的方法

• 将Gobet和Labart（2010）提出的用于求解标准BSDEs的算法进行适配，结合Picard迭代与自适应控制变量。
• 应用惩罚技术以近似反射BSDEs，从而求解美式期权定价问题。
• 通过MPI在集群上实现并行化，分配蒙特卡洛模拟与多项式回归任务。
• 采用域分解策略，每个处理器负责时间-空间网格点子集及其关联的随机路径。
• 通过最小化同步点与负载均衡优化通信开销。
• 使用总次数不超过η的多项式回归计算修正项，每轮迭代的复杂度与Mpd³成正比。

实验结果

研究问题

• RQ1 BSDE求解器的并行实现是否能在高维期权定价中实现线性加速？
• RQ2 当应用于维度高达10的美式期权时，该算法在可扩展性与效率方面表现如何？
• RQ3 在高维局部波动率模型下，该算法在定价与对冲方面的准确性在多大程度上得以保持？
• RQ4 在低维区域中，性能瓶颈是什么，它们如何影响加速测量结果？
• RQ5 该算法能否高效扩展至数千个处理器，以应对超高维问题？

主要发现

• 在维度6下，该算法在256个处理器内实现线性加速，256个CPU时的加速比为1.041，表现出强可扩展性。
• 在维度3下，超过28个处理器后加速比下降，原因是每个处理器的计算负载过低，凸显了问题规模对并行效率的重要性。
• 对于维度5的五只资产美式看跌期权，该算法在数轮迭代内收敛，得到约6.30的期权价格与德尔塔向量（-0.102159, -0.102893, -0.103237, -0.110546, -0.106442）。
• 该方法可同时计算期权价格与德尔塔（对冲头寸），为风险管理提供全面解决方案。
• 尽管计算时间略高于某些替代方法，但其提供对冲信息的能力使其整体效率极高。
• 采用改进的加速比度量（8个处理器的CPU时间 / 8 除以 n × n个处理器的CPU时间）弥补了缺乏顺序基线的不足，解释了某些情况下加速比略高于1的现象。