[论文解读] A parallel approximation algorithm for mixed packing and covering semidefinite programs

Rahul Jain, Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用 13

一句话总结

该论文提出了一种用于混合打包与覆盖半定规划的并行近似算法，灵感源自 Young 对线性规划的方法。其并行运行时间为 $\mathrm{polylog}(n,m) \cdot \frac{1}{{\varepsilon}^4} \cdot \log\frac{1}{{\varepsilon}}$，相较于先前针对正定半定规划的工作，对近似因子 $\varepsilon$ 的依赖关系得到了改进。

ABSTRACT

We present a parallel approximation algorithm for a class of mixed packing and covering semidefinite programs which generalize on the class of positive semidefinite programs as considered by Jain and Yao [2011]. As a corollary we get a faster approximation algorithm for positive semidefinite programs with better dependence of the parallel running time on the approximation factor, as compared to that of Jain and Yao [2011]. Our algorithm and analysis is on similar lines as that of Young [2001] who considered analogous linear programs.

研究动机与目标

• 开发一种用于混合打包与覆盖半定规划的快速并行近似算法，该问题为正定半定规划的推广。
• 消除先前在半定规划算法中限制并行运行时间的宽度参数依赖。
• 相较于先前工作，特别是 Jain 和 Yao（2011）针对正定半定规划的研究，实现对近似因子 $\varepsilon$ 更优的依赖关系。
• 将 Young（2001）针对线性规划的框架扩展至半定设置，采用软特征值函数与基于迹的势函数。
• 通过此广义方法，实现对正定半定规划更简单的分析与更快的收敛速度。

提出的方法

• 使用 $\mathrm{polylog}(mn)$ 时间内的并行归约，将可行性问题转化为标准形式，使得约束矩阵 $P$ 和 $C$ 均为单位矩阵。
• 采用基于矩阵指数迹的势函数：$g = \frac{\operatorname{Tr}(\exp(\sum x_i P_i))}{\operatorname{Tr}(\exp(-\sum x_i C_i))}$，以同时追踪打包与覆盖约束的进展。
• 维护一个向量 $x$，使得每次增量均使 $\sum x_i C_i$ 的最小特征值按与 $\|\sum x_i P_i\|$ 增量相关的因子增加，从而确保增长受控。
• 在每次迭代中，选择使局部增益 $\mathrm{local}_j(x)$ 最大的索引 $j$，其中 $\mathrm{local}_j(x)$ 定义为 $P_j$ 与 $C_j$ 成分迹增加量的比值。
• 使用阈值 $N = \frac{1}{{\varepsilon}}(\|\sum x_i P_i\| + 2\ln n + \ln m)$ 来限制迭代次数，并确保在 $\mathcal{O}(N/\varepsilon)$ 次全局更新内收敛。
• 将 $\|\sum x_i P_i\|$ 的每次步长增加量限制在 $\mathcal{O}(\varepsilon)$ 以内，以维持 $(1+9\varepsilon)$-近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种用于混合打包与覆盖半定规划的并行近似算法，且完全不依赖宽度参数？
• RQ2 Young（2001）针对线性规划的方法是否可扩展至半定设置，通过使用软特征值函数与基于迹的势函数？
• RQ3 与 Jain 和 Yao（2011）相比，能否改进正定半定规划运行时间对 $\varepsilon$ 的依赖关系？
• RQ4 在迭代更新中，覆盖约束的增长与打包约束的有界增长之间，最优权衡为何？
• RQ5 该算法能否在每轮迭代中以 $\mathrm{polylog}(n,m)$ 时间并行实现，且独立于输入规模？

主要发现

• 该算法在并行时间 $\mathrm{polylog}(n,m) \cdot \frac{1}{{\varepsilon}^4} \cdot \log\frac{1}{{\varepsilon}}$ 内运行，为可行性问题提供 $\varepsilon$-近似解。
• 该算法保证 $\sum x_i^* P_i \leq (1+9\varepsilon)\mathbb{1}$ 且 $\sum x_i^* C_i \geq \mathbb{1}$，从而确保获得有效的 $\varepsilon$-近似解。
• 对于正定半定规划（问题 Q3），该算法在运行时间对 $\varepsilon$ 的依赖关系上优于 Jain 和 Yao（2011），且分析更简洁。
• 全局更新次数（即 $g$ 增加的步骤）被限制在 $\mathcal{O}(N/\varepsilon)$ 以内，其中 $N = \mathcal{O}(\frac{\ln(mn)}{{\varepsilon}})$。
• 在固定 $g$ 时的迭代次数为 $\mathcal{O}(N \log(mN)/\varepsilon)$，且每次步骤可在 $\mathrm{polylog}(mn)$ 时间内并行计算。
• 分析依赖于对矩阵指数迹的有界控制，并利用软特征值版本来控制和矩阵范数的增长。