[论文解读] A Parameterized Algorithm for Vertex and Edge Connectivity of Embedded Graphs

Thérèse Biedl, Prosenjit Bose+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Interconnection Networks and Systems被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于计算具有交叉的嵌入图的顶点连通性和边连通性的参数化算法，通过引入一种新颖的概念——'缨带半径'（ribbon radius），将平面图和1-平面图的线性时间连通性算法推广至更广泛的近平面图类。通过证明最小割集位于交叉点的有界面距离（即缨带半径）范围内，该方法在最优2-和3-平面图、d-地图图、有界交叉图以及具有有限×-交叉的k-平面图等图类中实现了线性时间复杂度。

ABSTRACT

The problem of computing vertex and edge connectivity of a graph are classical problems in algorithmic graph theory. The focus of this paper is on computing these parameters for graphs drawn on the plane. A typical example of such graphs are planar graphs which can be embedded without any crossings. It has long been known that vertex and edge connectivity of planar embedded graphs can be computed in linear time. Very recently, Biedl and Murali extended the techniques from planar graphs to 1-plane graphs without ×-crossings, i.e., crossings whose endpoints induce a matching. While the tools used were novel, they were highly tailored to 1-plane graphs, and do not provide much leeway for further extension. In this paper, we develop alternate techniques that are simpler, have wider applications to near-planar graphs, and can be used to test both vertex and edge connectivity. Our technique works for all those embedded graphs where any pair of crossing edges are connected by a path that, roughly speaking, can be covered with few cells of the drawing. Important examples of such graphs include optimal 2-planar and optimal 3-planar graphs, d-map graphs, d-framed graphs, graphs with bounded crossing number, and k-plane graphs with bounded number of ×-crossings.

研究动机与目标

• 将平面图和1-平面图的线性时间连通性算法推广至具有交叉的更广泛嵌入图类。
• 识别一种结构条件——缨带半径——以确保最小顶点割和边割在嵌入中局部集中。
• 在如最优2-和3-平面图、d-地图图和有界交叉图等近平面图类中实现高效的连通性计算。
• 提供一个统一框架，将多种已知图类统一于单一算法方法之下。
• 探索将平面图算法推广至非平面曲面（如环面）的可行性，并识别其内在限制。

提出的方法

• 引入'缨带半径'的概念，作为衡量嵌入图中最小割集在交叉点周围局部集中的度量。
• 在对偶图 Λ(G) 中定义面距离，以量化割顶点/边与交叉点的接近程度。
• 证明：若缨带半径有界，则所有最小顶点割中的顶点以及所有最小边割中的边均位于 Λ(G) 中有界面直径的子图内。
• 构建一种参数化算法，在此有界半径子图内搜索最小割，以利用其局部结构。
• 利用门格尔定理（Menger’s theorem）和图复合技术（如交错排列 2⌊√k⌋-顶点连通团）证明正确性与连通性边界。
• 证明该算法在所有缨带半径有界的图类中运行时间为线性时间，包括具有有限×-交叉的k-平面图。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图的线性时间连通性算法能否推广至具有交叉的嵌入图？
• RQ2 何种结构特性可确保嵌入图中最小顶点割和边割在局部集中？
• RQ3 缨带半径参数是否能捕捉已知的近平面图类，如2-平面图、3-平面图和d-地图图？
• RQ4 该算法能否在所有缨带半径有界的图类中实现线性时间复杂度？
• RQ5 是否存在拓扑障碍（如在环面上）导致该方法无法推广至平面类似嵌入的非平面曲面？

主要发现

• 本文确立：对于缨带半径有界的嵌入图，所有最小顶点割中的顶点以及所有最小边割中的边，均位于对偶图 Λ(G) 中有界面直径的子图内。
• 对于所有缨带半径有界的图类（包括最优2-和3-平面图、d-地图图、d-框图和×-交叉有界的k-平面图），实现了计算顶点与边连通性的线性时间算法。
• 通过构造两个交错排列的、高度连通的k-平面图（R 和 B），并连接 p 条边，证明了最小边割唯一且位于较远的面距离，从而证明了缨带半径条件的必要性。
• 该方法将Eppstein的线性时间平面图连通性算法和Biedl与Murali的1-平面结果推广至更广泛的嵌入图类。
• 环面图中割端点之间具有大面距离的实例表明，缨带半径条件无法推广至环面等一般曲面。
• 结果表明，对于具有小缨带半径的嵌入边权图，其加权边连通性可能以近乎线性时间计算，性能与平面图相当。